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13.3.2简单的线性规划问题双基达标限时20分钟1．(2010·福建高考)若x，y∈R，且x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x，且z＝x＋2y的最小值等于()．A．2B．3C．5D．9解析可行域如图阴影部分所示，则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1,1)时，z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.答案B2．设x，y满足2x＋y≥4x－y≥－1，x－2y≤2则z＝x＋y()．A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值解析作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，作直线l：y＝－x.当平移直线l至经过A(2,0)时，z取得最小值，zmin＝2，由图可知无最大值．故选B.答案B3．已知点P(x，y)的坐标满足条件x＋y≤4，y≥x，x≥1，则x2＋y2的最大值为()．2A.10B．8C．16D．10解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|＝2，B(2,2)，|OB|＝22，C(1,3)，|OC|＝10.∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝(10)2＝10.答案D4．已知2x＋3y≤6x－y≥0y≥0，则z＝3x－y的最大值为________．解析画出可行域如图所示，当直线z＝3x－y过点(3,0)时，zmax＝9.答案95．已知实数x，y满足x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．解析画出不等式组x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.答案26．已知f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求f(x)的取值范围．3解作出不等式组－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线l：3x－y＝0，当直线l向下平移过B(0，－1)，即直线x－y－1＝0与x＋y＋1＝0的交点时，f(x)min＝3×0＋1＝1；当直线l向下平移过A(2，－1)即直线x－y－3＝0与x＋y－1＝0的交点时，f(x)max＝2×3＋1＝7，∴1≤f(x)≤7.综合提高限时25分钟7．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()．A.14B.35C．4D.53解析由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－35，∴a＝35.答案B8．已知x，y满足x－y＋5≥0，x≤3，x＋y＋k≥0.且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝()．A．2B．9C．310D．0解析由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.故选D.答案D9．若实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0.则z＝3x＋2y的最小值是________．解析由不等式组得可行域是以A(0,0)，B(0,1)，C(－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x＝0，y＝0时，z′＝x＋2y取最小值0.所以z＝3x＋2y的最小值是1.4答案110．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N*，y∈N*.目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．答案230011．某企业生产A，B两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360t，并且供电局只能供电200kW，试问该企业生产A，B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？产品品种劳动力(个)煤(t)电(kW)A产品394B产品1045解设生产A，B两种产品各为x，y吨，利润为z万元，则3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥0，y≥0.z＝7x＋12y.作出可行域(如图)，作出在一组平行直线7x＋12y＝t(t为参数)，此直线经过M(20,24)，故z的最优解为(20,24)，z的最大值为7×20＋12×24＝428(万元)．12．(创新拓展)(2011·三明高二检测)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏5损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z＝x＋0.5y，作出平面区域如图所示：作直线l0：x＋0.5y＝0，即2x＋y＝0.并作平行于直线l0的一组直线l：z＝x＋0.5y，当l过点M时，z最大．由x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8.得M(4,6)．此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．