高中数学《函数模型及其应用》素材4新人教A版必修1

用心爱心专心函数模型及其应用复习小结复习目标：１．能用函数刻画实际问题，强化函数的应用意识．２．能利用计算器或计算机，比较指数函数、对数函数、及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义．３．掌握实际问题的数学建模过程，能把所学的知识真正应用到实际生活中去．知识要点：一．不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律．例如，指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．你能说说这三种函数模型的增长差异吗？你能举例说明直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义吗？二．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？三．用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理．在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术．因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用．典型例题解析：例１．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.（Ⅰ）写出y与x的关系式；（Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？分析：由于成本的增加，相应的出厂价也提高了，日销售量也增加，因此在计算增加成本后的日利润ｙ时，要考虑这三个量的变化．解：（Ⅰ）由题意得).10)(1034(2000)8.01(1000)]1(40)5.01(60[2xxxxxxy（Ⅱ）要保证日利润有所增加,当且仅当1001000)4060(xy本例主要是利用二次函数来解决实际问题，这是本节中的一个重点，也是难点，更是易错点．在解决实际问题时，常把实际问题转化为二次函数的有关知识来解决，如求最值问题等，但要注意函数的定义域．用心爱心专心即100342xxx，解得430x点评：本例是实际应用问题，解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形。练习１：１．某产品总成本C（万元）与产量x（台）满足关系23000200.1Cxx，其中0240x，若每台产品售价25万元，则厂家不亏本的最低产量为１５０台．２．某商场售物A，日销量1000件，每件可获利4元，据经验，每件降价0.1元，则每天多买100件，问每件减价多少元，每天所得利润最大，最大利润为多少元．解：.6250,5.1);43(1000max2yxxxy时元例２．（1）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是1.4元，而到了2005年，该市每公斤猪肉的平均价格是15元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长率．（2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职工月平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元．解：（1）设猪肉价格的年平均增长率是%x，则有30151.4(1%)x．利用计算器可得8.2x．（2）该市职工月工资和年平均增长率是%x，则有3084040(1%)x，利用计算器可得10.8x．因为10.88.2，因此人们的生活水平是日益提高．照这样的速度到2020年，职工月平均工资是15860(110.8%)4000元．练习２：１．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x，则（Ｄ）A.4)1(19xB．3)1(20xC．2)1(20xD．4)1(20x２．有一片树林现有木材储蓄量为7100cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率．（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？这是一个指数函数模型的应用题，加强对计算器及计算机的使用，进一步理解指数增长的含义．用心爱心专心解：（1）设增长率为x，由题意得28400=7100（1+x）20∴（1+x）20=420lg（1+x）=2lg2，lg（1+x）≈0．03010∴1+x≈1．072，∴x≈0．072=7．2%（2）设y年可以翻两番，则28400=7100（1+0．08）y，即1．08y=4∴y=02.180334.06020.008.1lg2lg2，故18年可翻两番．例３．我国1999年至2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表：年份1999200020012002ｘ0123生产总值8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的函数关系式求生产总值并与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2003年我国的国内生产总值．分析：根据数据表，画出散点图，用比较合适的函数拟合散点，从而得到一个函数模型，然后用此模型解释这一实际问题．解：（１）画出函数图形（略），从图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为bkxy，把两点（０，8.2067）和(3,10.2398)代入公式,解得2067.8,677.0bk．所求的函数关系为2067.8677.0)(xxfy．（２）由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为8844.82067.81677.0)1(f，5621.92067.82677.0)2(f．与实际的生产总值相比,误差不超过0.1亿元．（３）若按此规律增长，2003年时，即ｘ＝４时，可得培养学生对数据的分析处理的能力，在刻画拟合函数时，培养学生的动手能力及分析推理能力，让学生体会求拟合函数的基本过程，并在以后的学习生活中加以运用．用心爱心专心9175.102067.84677.0)4(f．即预测2003年国内生产总值约为10．9175万亿元．点评：通过上述模型解决实际问题是否符合实际情况，还要经过实践的验证，若与实际误差较大，就要修正得到的数学模型．练习３：１．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，最初一年只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y（只）与时间x（年）的关系可近似地由关系式2log(1)yax给出，则到2006年时，麋鹿的只数约为（Ｂ）A．400B．440C．500D．600２．今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（Ｃ）A．tv2logB.tv21logC.212tvD.22tv例４．有一批单放机，每台80元，两个商场均有销售．甲商场的优惠办法是：买1台少收2元，买2台每台少收4元，买3台少收6元，……，直到减到半价为止．乙商场的优惠办法是：一律按原价的70%销售．某公司要为每个员工买一台这样的单放机，问到哪个商场购买比较合算？分析：要比较到哪个商场购买比较合算，就看买相同的台数谁花的钱少．因此设大家都买ｘ台，列出所需钱数的函数关系式即可．解：设共买x（台），在甲．乙两个商场购买分别需()fx和()gx元，则有(802)()40xxfxx(120)(20)xx，()56gxx．在同一直角坐标系中分别作出函数()fx和()gx的图象（图略），由图象可知，它们有一个交点(12,672)．由图可知，当公司员工少于12人时，到乙商场购买合算；当当公司员工恰好是12人时，到甲．乙商场都一样；当公司员工多于12人时，到甲商场购买合算．一方面渗透数形结合的思想，另一方面生活中经常会碰到类似的事情，需要你对某个事件作出选择，这就可用我们学过的数学知识来分析解决，体现了数学的应用价值，培养学生学好数学的信心．用心爱心专心点评：这是一类函数值大小的比较的问题，一般可借助计算器或计算机，画出函数图形，从图形上比较直观地反映出来；也可通过大小比较（一般是作差），求出满足题意的答案．练习４：１．某养鱼场，第一年鱼产量增长率为200%，以后每年产量的增长率都为前一年的一半，则四年后鱼产量为原来的445倍．２．某厂出售某种手表,成本24元/只,如直接设立门市部,每只售价可定为32元,但需支付门市费用每月2400元;如批发给零售商,出厂价只能定为28元/只,那么该手表每月销量至少为６００只时设立门市部较合算．例５．设海平面上（海拔高度为0米）是一个标准大气压，随着海拔高度的增加，气压越来越低．当海拔高度为1000米时，约为0.891个大气压；当海拔高度为10000米时，约为0.317个大气压，当海拔高度为20000米时，约为0.102个大气压．设海拔高度为x米的地方，气压为y个标准大气压．（1）建立y与x间的函数模型，找出y与x的函数关系式；（2）从身体需氧的角度讲，当大气压低于0.65个大气压时，就会比较危险．根据你找的y与x的函数关系，计算常人攀登山的高度不宜超过多少米．分析：先要根据散点图，找出合适的函数模型进行拟合．计算常人攀登山的高度不宜超过多少米．就是用二分法找零点．解：显然，y随x的增加而减小．且依题意，不可能是直线，也不可能是反比例函数，而用指数型函数较适合．设xyka，由0x时，1y知，1k，即xya10.891a，0.891a；100.317a，0.891a；200.102a，0.892a；∴0.891xy．（2）设0.650.891x，构造函数()0.8910.65xgx，用二分法求此方程的零点1x，(5)0g，(0)0g，1(0,5)x，(2.5)0g，(5)0g，1(2.5,5)x，(2.5)0g，(5)0g，1(2.5,5)x，(3.75)0g，(2.5)0g，1(2.5,3.75)x，(3.125)0g，(3.75)0g，1(3.125,3.75)x，(3.4375)0g，(3.75)0g，1(3.4375,3.75)x，知，1x约为3600米．点评：在计算常人攀登山的高度不宜超过多少米时，可用前面学过的知识，在根据数据，画出散点图后，需要选择一个函数模型来拟合，旨在培养学生求拟合函数，如何使所求函数更能反映事实，能对未来作出更准确的判断．在计算常人攀登山的高度不宜超过多少米时，采用二分法，旨在加强知识间的联系．用心爱心专心注意知识间的联系．练习5：１．从2001年起的20年内，我国力争使全国工农业总产值翻两番．按目前的年平均增长率（约为8.1%）计算，要实现这一目标，约需（Ｂ）A．20年B．18年C．16年D．15年２．某医院研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线，（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？解：（1）依题意，得)85.0(,53254)5.00(,12tttty（2）设第二次服药时，在第一次服药后1t小时，则4532541t，31t（小时）因而第二次服药应在10：00.设第三次服药在第一次服药后2t小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有4532)3(545325422tt，解得72t（小时），因而第三次服药应在14:00.x8