高中数学《导数在研究函数中的应用》文字素材2新人教A版选修2-2

用心爱心专心1用导数法求“双二次函数”的单调区间更简单有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法.下面对两种解法作一比较.例)2()(,28)(22xfxgxxxf，则)(xg在A．)0,1(上递减B．)1,0(上递减C．)0,2(上递增D．(0,2)上递增解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法思路点拨容易知道)(xf在)1,(上递增，在),1(上递减，为讨论22x在)1,(及),1(上的单调性，必须先解不等式：122x得12,112xx，得1x或1x.当11x时，122x，)(xf递减；又22x在)0,1(上递增，在)1,0(上递减，故)(xg在)0,1(上递减，在)1,0(上递增；当1x或1x时，122x，)(xf递增，又22x在)1,(上递增，),1(上递减，故)(xg在)1,(上递增，在),1(上递减.故选A.把上面的叙述整理成下面的表格：x的范围)0,1()1,0()1,(),1(22xt递增递减递增递减t的范围),1()1,()(tf递减递增)(xg递减递增递增递减评注：讨论“双二次函数”的单调性的根据是：设nmubaxxguufy,,,),(),(都是单调函数，则)(xgfy在ba,上也是单调函数.(1)若)(ufy是nm,上的增函数，则)(xgfy的增减性与)(xgu的增减性相同；(2)若)(ufy是nm,上的减函数，则)(xgfy的增减性与)(xgu的增减性相反.解法二：利用导数法求单调区间用心爱心专心2解∵)2()(,28)(22xfxgxxxf∴82)(24xxxg∴xxxg44)('3当1x或10x时，0)('xg.当01x或1x时，0)('xg.∴当1x或10x时，)(xg递增.当01x或1x时，)(xg递减.故选A评注：该题直接用导数法求函数的单调区间，简明快捷.运用导数解决有关单调性问题一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f'(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有三类问题：①运用导数判断单调区间或证明单调性；②已知单调性求参数；③先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题．下面举例说明．一、求单调区间或证明单调性单调区间的求解过程：已知)(xfy（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy；（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间．例1求下列函数单调区间（1）5221)(23xxxxfy（2）xxy12用心爱心专心3（3）xxky2)0(k（4）ln22xy解：（1）232xxy)1)(23(xx，)32,(x),1(时0y)1,32(x0y∴)32,(，),1(为增区间，)1,32(为减区间．（2）221xxy，∴)0,(，),0(为增区间．（3）221xky，∴),(kx),(k，0y．),0()0,(kkx，0y∴),(k，(,)k为增区间；)0,(k，),0(k减区间．（4）xxxxy14142，定义域为),0()21,0(x0y减区间；),21(x0y增区间．二、已知单调性求参数例2求满足条件的a：（1）使axxysin为R上增函数．（2）使aaxxy3为R上增函数．解：（1）axycos，∴1a，1a时，xxysin也成立．用心爱心专心4∴),1[a（2）axy23，0a，0a时，3xy也成立．∴),0[a三、证明不等式若)(xfy，],[bax⑴0)(xf恒成立，∴)(xfy为),(ba上．∴对任意),(bax不等式)()()(bfxfaf恒成立（2）0)(xf恒成立，∴)(xfy在),(ba上∴对任意),(bax不等式)()()(bfxfaf恒成立例3求证下列不等式（1）xx2sin)2,0(x（2）xxxxtansin)2,0(x证：（1）原式2sinxx，令sin()xfxx．又)2,0(x，0cosx，0tanxx∴2)tan(cos)(xxxxxf，∴)2,0(x，0)(xf，)2,0(，2)2(f，∴xx2sin（2）令xxxxfsin2tan)(，0)0(f．xxxxxxxf222cos)sin)(coscos1(cos2sec)()2,0(x，0)(xf．∴)2,0(∴xxxxsintan．用心爱心专心5重视导数应用的热点题型导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1．求切线斜率根据导数的几何意义，函数)(xf在点0x处的导数是曲线)(xf在点))(,(00xfxP处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.例1求曲线0532222yxyxyx在点)1,1(处的切线方程.分析利用隐函数求导法则，得出在点)1,1(处的切线斜率，从而可求出切线方程.解对方程0532222yxyxyx两边关于x求导，得0'32'22'22yyyyxyx.解之得322222'yxyxy.易知)1,1(点在曲线上，72')1,1(y.∴曲线在点)1,1(处的切线方程为)1(721xy，即0972yx.评注：(1)两边对x求导，特别要注意y是x的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含x，y两个变量.2．求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果导数0)('xf，则函数在这个区间上为增函数；如果导数0)('xf，则函数)(xf在这个区间上为减函数.例2(2004全国卷Ⅰ理)已知,Ra求函数axexxf2)(的单调区间.解函数f(x)的导数：.)2(2)(22axaxaxeaxxeaxxexf（I）当0a时，若0x，则)(xf0，若0x,则)(xf0.所以当0a时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II）当,02,02,02xaxaxxa或解得由时用心爱心专心6由.02,022xaaxx解得所以，当0a时，函数f(x)在区间（－∞，－a2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III）当0a时，由022axx，解得ax20,由022axx，解得0x或ax2.所以当0a时，函数)(xf在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.3．求极值利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数)(xfy在点0x处连续且0)('xf.若在点0x附近左侧0)('xf，右侧0)('xf，则)(0xf为函数的极大值；若在点0x附近左侧0)('xf，右侧0)('xf，则)(0xf为函数的极小值.例3已知函数1)(3bxaxxxf，当1x，1x时，取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a，b的值；(2)求)(xf的极大值和极小值.解(1)baxxxf2435)('.∵1x时有极值，则035)1('baf.∴53ab代入)('xf得)]53(5)[1)(1()('2axxxxf.且0)53(52ax.对任意实数x成立，∴053a.∴35a.x)1,(1)1,1(1),1()('xf＋0－0＋)(xf极大极小用心爱心专心7∴当1x时取得极大值，1x时取极小值.即4)1()1(ff∴3ba.再由53ab，解出1a，2b.(2)3)1(f为极大值，1)1(f为极小值.4．求最值在闭区间ba,上连续的函数)(xf，在ba,上必有最大值与最小值，设函数)(xf在ba,上连续，在),(ba内可导，先求出)(xf在),(ba内的极值，然后将)(xf的各极值与)(af、)(bf值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4(2004湖南理)已知函数eaexxfax,0,)(2其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）求函数)(xf在区间[0，1]上的最大值.解（Ⅰ）.)2()(axeaxxxf（i）当0a时，令.0,0)(xxf得若),0()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递增；若)0,()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递减.（ii）当a0时，令.20,0)2(,0)(axxaxxxf或故得若)0,()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递减；若)2,0()(,0)(,20axfxfax在从而则上单调递增；若,2ax),2()(,0)(axfxf在从而则上单调递减.（Ⅱ）（i）当0a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是.1)1(f（ii）当02a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是aef)1(.（iii）当a≤2时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22eaaf5．求实际应用问题中的最值在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使0)('xf，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.例5(2000高考)用总长8.14m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长5.0m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解设容器底面边长为xm，另一边长为)5.0(xm，高为用心爱心专心8xxx22.34)5.0(448.14，由022.3x和6.100xx.设容器的容积为ym3，则有)6.10)(22.3)(5.0(xxxxy即xxxy6.12.2223令0'y，有06.14.462xx即154,1041115212xxxx，(不合题意，舍去)所以当1x时，8.16.12.22maxy(m3).