高中数学《数学归纳法》学案4新人教A版选修2-2

用心爱心专心1数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n取第一个值0n时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k),(0*nkNk时命题成立.在此假设下,证明当1kn时命题也成立是推理的依据.○3结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）:观察,归纳,猜想,推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0nn时成立,注意0n不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二．基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当)(*Nkkn时该命题成立,那么可以推得1kn时该命题也成立.现已知5n时该命题不成立,则()A4n时该命题成立B6n时该命题不成立C4n时该命题不成立D6n时该命题成立2．用数学归纳法证明2nn2(n∈N,n5),则第一步应验证n=;3．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321nnnNn时,,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是.三、例题分析例1:已知*Nn,证明:nn211214131211nnn212111.例2、求证：nnn21213121121例3.是否存在正整数m使得9372nnnf对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。例4.平面内有n)(*Nn个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成22nn个部分.例5.设f(k)满足不等式Nkkxxk1223loglog122的自然数x的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(nfffSn，求nS的解析式；用心爱心专心2（3）令NnnnPn12，试比较nS与nP的大小。三、课堂小结1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法;2用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范;3两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设,二凑结论四、作业同步练习数学归纳法1．若f（n）=1+1213121n（n∈N*），则当n=1时，f（n）为（A）1（B）31（C）1+3121（D）非以上答案2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=aan112（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（A）1（B）1+a（C）1+a+a2（D）1+a+a2+a33.用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141Nnnnnnn,则从k到k＋1时,左边应添加的项为(A)121k(B)421221kk(C)－221k(D)121k－221k4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（A）当n=6时该命题不成立；（B）当n=6时该命题成立（C）当n=4时该命题不成立（D）当n=4时该命题成立5.),,3,2,1(21312111kkkkkSk则Sk+1=(A)Sk+)1(21k(B)Sk+11221kk(C)Sk+221121kk(D)Sk+221121kk6．由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的内角和f(n)=;(2)凸n边形的对角线条数f(n)=;(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个用心爱心专心3圆分平面区域数f(n)=.为真，进而需验证n=，命题为真。7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n123…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为.8.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝12)1(nn(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.9.求证：212131211nn（Nn）10.21111111212aaan……。11．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+2)1(nnlg2x,其中n∈N,n3,),101(x,试比较AN与Bn的大小.答案基本训练1.C2.53.k2例题分析1.证明:用数学归纳法证明.(1)当1n时,左边=21211,右边21,等式成立;(2)假设当kn时等式成立,即有:kk211214131211kkk212111.那么当1kn时,左边=)1(211)1(21211214131211kkkkkkk212111)1(21121kk121213121kkkk])1(2111[kk2)1(11)1(1kk)1()1(1)1(1kkkk=右边;用心爱心专心4所以当1kn时等式也成立.综合(1)(2)知对一切*Nn,等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当1kn时向目标式靠拢是关键.2.证明：（1）当n=1时，211)1(f，原不等式成立（2）设n=kNk时，原不等式成立即kkk21213121121成立，当n=k+1时，2112121212121212122112121212211211211111kkkkkfkfkkkkkkkkkk项共项共kkkkkkkkkkkkkfkf2111211211212121221121212122112111211kkf即n=k+1时，命题成立综合（1）、（2）可得：原命题Nn对恒成立。3.证明：由9372nnnf得，361f，3632f，36103f，36344f，由此猜想m=36下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，显然成立。（2）假设n=k时，f(k)能被36整除，即9372kkkf能被36整除；当n=k+1时，1318937239371211kkkkk由于131k是2的倍数，故)13(181k能被36整除，这就说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n都有9372nnnf能被36整除，m最大值为36。4.解:(1)当1n时,一个圆把平面分成两部分,此时222nn,即命题成立;用心爱心专心5(2)假设当kn时命题成立,即k个圆把平面分成22kk个部分.那么当1kn时,这1k个圆中的k个把平面分成22kk个部分.第1k个圆被前k个圆分成k2条弧,这k2条弧中的每一条把所在的部分分成了2块,这时共增加k2个部分,故1k个圆把平面分成22kk2)1()1(22kkk个部分,这说明当1kn时命题也成立.综上所述,对一切*Nn,命题都成立.例5.设f(k)满足不等式Nkkxxk1223loglog122的自然数x的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(nfffSn，求nS的解析式；（3）令NnnnPn12，试比较nS与nP的大小。5.解：（1）原不等式kkkkkkkkxxxxxxxxx2202223022323011112111212211kkkkf（2）12222)()2()1(110nnnfffSnnn（3）22nPSnnnn=1时，;01221；n=2时，;02222n=3时，;03223；n=4时，;04224n=5时，;05225；n=6时，;06226猜想：5n时nnPS下面用数学归纳法给出证明（1）当n=5时，55PS，已证（2）假设5kkn时结论成立即22,kPSkkk那么n=k+1时，112kkP而2112122222kkkkk在5k范围内，0212k恒成立则2212kk，即11kKPS由（1）（2）可得，猜想正确，即5n时，nnPS综述：当n=2,4时，nnPS当n=3时，nnPSn=1或5n时，nnPS。用心爱心专心6作业1—5、CCDCC9.证：①1n时左211右②假设kn时成立即：212131211kk当1kn时左121121212121211212111kkkkkkk21212122212112112121111kkkkkkkkk即：1kn命题成立综上所述由①②对一切Nn命题成立.10.分析：