高中数学《直接证明与间接证明》学案1新人教A版选修2-2

用心爱心专心1归纳——猜想——证明数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳——猜想——证明”。例1数列na满足2*nnSnanN。（1）计算1a，2a，3a，4a，并由此猜想数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。分析：在用数学归纳法对（1）中的猜想证明时，关键是利用ka求得1ka，在此要注意已知条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的k换做1k，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。解析：（1）11a，232a，374a，4158a，由此可猜想1212nnna。（2）下面用数学归纳法证明：①当1n时，左边11a，右边1112112，猜想成立。②假设nk时猜想成立，即1212kkka，那么据已知2kkSka，①1121kkSka，②由②-①可得112kkkaaa，∴11111212121112222kkkkkkkkaa，即当1nk时猜想也成立。根据①②可知，猜想对任何*nN都成立。评注：高考对数学归纳法的考查时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考查，应深刻理解与把握“归纳——猜想——证明”的基本方法，注重其应用。用心爱心专心2例2已知11123na…1*nNn，是否存在n的整式qn，使得等式12aa…11nnaqna，对于大于1的一切自然数n都成立，并证明你的结论。分析：假设存在qn，去探索qn等于多少。解析：当2n时，由1221aqa，即112112q，解得22q；当3n时，由12331aaqa，即11111311223q，解得33q；当4n时，由123441aaaqa，即111111223=111411234q，解得44q。由此猜想2,qnnnnN。下面用数学归纳法证明：当2,*nnN时，等式12aa…11nnana成立。①当2n时，由以上经验可知等式成立。②假设当nk2,*kkN时等式成立，即12aa…11kkaka，则当1nk时，12aa…1kkaa11kkkkaakak111kkak1111111kkkakak。∴当1nk时，等式也成立。由①②知，对于大于1的自然数n，存在整式qnn，使得等式12aa…11nnaqna总成立。评注：这是一个探索性问题，整式qn需要用经验归纳法来探求和发现，用观察、归纳、猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明。例3是否存在常数a、b、c使等式222222421122nnnnnanbnc对一切正整数n成立？证明你用心爱心专心3的结论。分析：先取n1、2、3，探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切的*nN，a、b、c所确定的等式成立。解析：分别用n1、2、3代入解方程组0164381918abcabcabc，解得14140abc。下面用数学归纳法证明：（1）当1n时，由上式可知等式成立；（2）假设当nk时等式成立，即222222421122kkkkkakbkc，则当1nk时，左端222222221112121111kkkkkkkk2222221122121221kkkkkkk21kk4211212212144kkkkkk42111144kk，∴当1nk时，等式也成立。由（1）、（2）得等式对一切*nN都成立。评注：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是一种非常重要的思维能力。分析综合巧结妙解分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”。它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合”。在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。用心爱心专心4例1设2()(0)fxaxbxca，若函数(1)fx与()fx的图像关于y轴对称，求证1()2fx为偶函数。证明1：要证1()2fx为偶函数，只须证明其对称轴为0x,即只须证1022ba,只须证ab（*）。由已知，抛物线(1)fx的对称轴12bxa与抛物线的对称轴2bxa关于y轴对称，122bbaa于是得ab（*）1()2fx为偶函数。证明2：记F()x1()2fx,欲证F()x为偶函数，只须证F()x=F()x,即只须证11()()22fxfx（*）由已知，函数(1)fx与()fx的图象关于y轴对称，而函数()fx与()fx的图象也是关于y轴对称的，()(1)fxfx于是有11()[()]22fxfx1[()1]2fx1()2fx（*）1()2fx为偶函数。评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。例2设nN,求证222111312321nnn证明：把结论分解为两个部分考察用心爱心专心5设222111123nxn,321nnyn,则由1210(1)nnxxn12304(1)1nnyyn可知，数列nx与ny都是单调递增数列。再运用综合法，先寻求两个数列的联系111xy,2223414(1)14(1)(1)nnn,把这种联系概括为nnxy，从而得到222111312321nnn评注：上述思考过程的前半部分运用了分析法，后半部分则运用了综合法。