高中数学《空间中的垂直关系》学案

1空间中的垂直关系一．课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。二．命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。预测高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。三．要点精讲1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式：,,POOPAAaAOaaAP。注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2．线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）aPOA2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。四．典例解析题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。例2．（2006全国Ⅱ，19）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。题型2：线面垂直问题例3．（1）（2006北京文，17）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。（2）（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱12EFBC∥。（I）证明FO∥平面;CDE；（II）设3,BCCD证明EO平面。例4．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，ABCDEA1B1C1OFABCDA1B1C1D13AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。题型3：面面垂直问题例5．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA。例6．（2003京春理，19）如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G。（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V。题型4：射影问题例7．（1）如图，SA正方形ABCD所在平面，过A作与SC垂直的平面分别交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、HABCD1A1B1C1D4分别是点A在直线SB和SD上的射影．（2）（2006湖北理，18）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P是侧棱1CC上的一点，CPm。（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32；（Ⅱ）在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面1APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面11BDDB相交于点，连结OG，因为PC∥平面11BDDB，平面11BDDB∩平面APC＝OG，故OG∥PC，所以OG＝21PC＝2m。又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面11BDDB，故∠AGO是AP与平面11BDDB所成的角。在Rt△AOG中，tanAGO＝23222mGOOA，即m＝31。所以，当m＝31时，直线AP与平面11BDDB所成的角的正切值为32。（Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP。那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。O1GOCDC1BAD1A1B1P5点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。例8．如图1所示，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点。（1）证明AB1∥DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，BC=2。求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。证明：（1）如图2所示，∵A1B1C1—ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形。连结B1C，交BC1于E，则BE=EC。连结DE，在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1，又因为AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1。（2）作AF⊥BC，垂足为F。因为面ABC⊥面B1BCC1，∴AF⊥平面B1BCC1。连结B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F。∵四边形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°，又∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1，则BCBB1=1CCBF=BBBF1。又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=3，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为3。点评：建立直线和平面的位置关系与点、线在平面上的射影间的关系。题型5：垂直的应用例9．已知A是边长为a的正三角形BCD所在平面外一点，ACABaAD，求异面直线AB与CD的距离。解析：分别取AB、CD中点E、F，连结EF（图⑴）。FCABDEFCABDEFCABDE图⑴图⑵图⑶6连结EC、ED（图⑵）∵aBDBC，BE为公共边，60EBDEBC，∴EBC≌EBD∴EDEC∵点F为CD中点∴CDEF同理：ABFE（图⑶）又EEFAB，FEFCD，∴EF即为异面直线AB与CD的公垂线段如图⑵，在CEFRt中，90CFE，aCF21，aCE23，∴aaaEF22212322∴异面直线AB与CD的距离a22。点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。例10．如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线aBDAC且它们所成的角为30。⑴求证：HFEG，⑵求四边形EFGH的面积。解析：⑴在ABD中，E、H分别是边AB、AD的中点，∴EH∥BD21，在CBD中，F、G分别是边CB、CD的中点，∴FG∥BD21，∴EH∥FG且BDFGEH21，同理：EF∥HG且ACHGEF21，∵aBDAC，∴aHEGHFGEF21，∴四边形EFGH为菱形，∴HFEG。⑵∵EF∥AC，FG∥BD，∴EFG（或EFG的补角）即为异面直线AC与BD所成的角，由已知得：30EFG（或150EFG），∴四边形EFGH的面积为：2812122sin212aaaEFGFGEF。题型6：课标创新题例11．（1）（2000全国，16）如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的（要求：把可能的图的序号都．填上）ABCDEFGH7图（1）图（2）答案：②③解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。过E、F分别作DD1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。（2）（2000上海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）解析：要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。例12．（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：。答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β点评：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质.但题型较新颖，主要表现在：题目中以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体。考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。五．思维总结1．通过典型问题掌握基本解题方法，高考中立体几何解答题基本题型是：（Ⅰ）证明空间线面平行或垂直；（Ⅱ）求空间中线面的夹角或距离；（Ⅲ）求几何体的侧面积及体积。证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.8应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一。垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1平行转化：线线平行线面平行面面平行；2垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的。例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。2．“升降维”思想直线是一维