高中数学2015新课标步步高1.3

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定1．判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,02n1000，则綈p：∃n∈N,02n≤1000.(×)(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x20”．(×)(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)2．命题p：∀x∈R，sinx1；命题q：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧qB．綈p∧qC．p∨綈qD．綈p∧綈q答案B解析p是假命题，q是真命题，∴綈p∧q是真命题．3．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x20B．不存在x∈R，使得x20C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x200答案D解析因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x200”．4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q答案A解析“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p)∨(綈q)．5．若命题“∃x∈R，x2－mx－m0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“∃x∈R，x2－mx－m0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.题型一含有逻辑联结词命题的真假判断例1命题p：将函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位得到函数y＝sin2x－π3的图象；命题q：函数y＝sinx＋π6cosπ3－x的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”为真命题的个数是()A．1B．2C．3D．0思维启迪先判断命题p、q的真假，然后利用真值表判断p∨q、p∧q、綈p的真假．答案B解析函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y＝sin2x－π3＝sin2x－2π3，∴命题p是假命题．又y＝sinx＋π6cosπ3－x＝sinx＋π6cosπ2－x＋π6＝sin2x＋π6＝12－12cos2x＋π3，∴其最小正周期为T＝2π2＝π，∴命题q真．由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”为真．思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假．(1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．答案(1)D(2)必要不充分解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.(2)若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．题型二全(特)称命题的否定例2写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.思维启迪否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．思维升华(1)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(1)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0(2)命题“存在实数x，使x1”的否定．．是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案(1)C(2)C解析(1)綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0.(2)利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.题型三逻辑联结词与命题真假的应用例3(1)(2013·山西名校联考)已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋10，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2(2)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．思维启迪利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．答案(1)A(2)[e,4]解析(1)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋10恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得m≥0m≤－2或m≥2，即m≥2.(2)若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex,得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.思维升华以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≥1}C．{a|a≤－2或1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}(2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(1)A(2)[－22，22]解析(1)由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤22.借助逻辑联结词求解参数范围典例：(12分)已知c0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．思维启迪(1)p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．规范解答解∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.[2分]即p：0c1，∵c0且c≠1，∴綈p：c1.[3分]又∵f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，∴c≤12.即q：0c≤12，∵c0且c≠1，∴綈q：c12且c≠1.[5分]又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．[6分]①当p真，q假时，{c|0c1}∩c|c12且c≠1＝c|12c1.[8分]②当p假，q真时，{c|c1}∩c|0c≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c的取值范围是c|12c1.[12分]第一步：求命题p、q对应的参数的范围．第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．失误与防范1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案C解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．2．(2013·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∈BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B答案D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．綈p∨qB．p∧qC．綈p∧綈qD．綈p∨綈q答案D解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题．4．已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是()A．綈p∧綈qB．綈p∨綈qC．綈p∨qD．p∧q答案B解析对于命题p，如图所示，作出函数y＝ax(a1)与y＝logax(a1)在(0，＋∞)上的图象