高中数学【Word版题库】82平面的性质及空间两直线的位置关系

8.2平面的性质及空间两直线的位置关系一、填空题1．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案①②④2．给出下列四个命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的序号为________．解析①④错误，②③正确．答案②③3．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的________条件．解析当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，所以q⇒p，但p⇒/q.答案必要不充分4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则给出四个命题：①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面；上述命题中正确的是________(填序号)．解析对于①，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于②，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．对于③，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．对于④，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．答案②5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列四个结论：①A1、M、O三点共线；②M、O、A1、A四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．其中正确结论的序号是________．解析因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以①②③正确．答案①②③6．给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的序号是________．解析没有公共点的两条直线也可能异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确．答案③④7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论：①EF与CC1垂直；②EF与BD垂直；③EF与A1C1异面；④EF与AD1异面，其中不成立的序号是________．解析连结A1B，在△A1BC1中，EF∥A1C1，所以①，②，④正确，③错．答案③8．下列用符号表示“点A在直线l上，直线l不在平面α内”正确的是________．①A∈l，l∉α；②A∈l，l∉α；③A⊂l，l∉α；④A⊂l，l∉α.解析根据元素、集合的表示方法和元素与集合关系的表示方法．答案②9．已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN________12(AC＋BD)(填“＞”，“＜”或“＝”)．解析如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝12BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝12AC，又根据三角形的三边关系知，MN＜MG＋NG，即MN＜12BD＋12AC＝12(AC＋BD)．答案＜10．给出下列命题：①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；②两个平面的交线可能是一条线段；③经过空间任意三点的平面有且只有一个；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．其中，正确命题的序号为________．解析根据平面基本性质3可知，如果两个平面相交，则它们有无数个公共点，并且这些公共点在同一条直线——两个平面的交线上，故①②都不正确；由平面的基本性质2可知，经过不共线的三个点有且只有一个平面，若三点共线，则经过这三点的平面有无数个，所以③不正确，④正确．答案④11．在一块长方体木块(如图所示)的面上有一点P，木匠师傅要用锯子过P和CD将木块分成两块，应该怎样画线？____________________.(请在横线上填画法)答案过P作C1D1的平行线，交A1D1于E，交B1C1于F，连接DE，CF即可．12．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．解析①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案③13．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ0＜λ≤12，设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α＋β的最小值________．解析当EF∥BD时，α＝β＝45°，α＋β＝90°即为a＋β的最小值，故填90°.答案90°二、解答题14.如图，空间四边形ABDC，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AD＝BC，四边形EFGH是什么图形？(3)若AD⊥BC，四边形EFGH是什么图形？解析(1)证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EF∥BC，且EF＝12BC，GH∥BC，且GH＝12BC，∴EF∥GH，且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)由(1)知EF＝12BC，同理可证FG＝12AD，又AD＝BC，∴EF＝FG，∴▱EFGH是菱形．(3)∵EF∥BC，FG∥AD，又AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形．15．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉12AD，BE綉12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解析(1)证明由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉12AD.又BC綉12AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綉12AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以四边形BCHG是平行四边形．所以EF綉BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．16．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．解析如图，取AB，CD，AD，AC的中点E，G，F，H，连接EF，FG，GE，EH，HG.则∠EFG(或其补角)为BD与AC所成的角．且EF＝12BD＝134，FG＝12AC＝34.EH∥BC，HG∥AD.∵AD⊥BC，∴EH⊥HG.∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°.∴AC与BD所成的角为90°.17．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．证明∵C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1，∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．∵O为A1C与截面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两平面的公共点，∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．18．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．证明(1)在△ABD中，E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD.在△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．(2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，∴P∈面ABC，P∈面ADC又面ABC∩面ADC＝AC⇒P∈直线AC.∴P、A、C三点共线．