高中数学【配套Word版文档】5.4平面向量的应用

§5.4平面向量的应用2014高考会这样考1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题．复习备考要这样做1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2.体会数形结合思想，重视向量的工具性作用．1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[难点正本疑点清源]1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．1．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________．答案y2＝8x(x≠0)解析由题意得AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即2，－y2·x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．2．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(2cosα，2sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．答案16解析∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝(2cosα，2sinα)，∴m＋n＝2cosαm－n＝2sinα，∴m＝22cosα＋sinαn＝22cosα－sinα，∴(m－3)2＋n2＝22cosα＋sinα－32＋22cosα－sinα2＝10－6sinα＋π4≤16.3．已知A、B是以C为圆心，半径为5的圆上的两点，且|AB→|＝5，则AC→·CB→＝________.答案－52解析∵|AB→|＝5＝r，∴∠ACB＝60°，AC→·CB→＝－CA→·CB→＝－|CA→|·|CB→|·cos∠ACB＝－5·5cos60°＝－52.4．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的______________条件．答案必要不充分解析因为f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b.当f(x)为一次函数时，必须满足a·b＝0，|b|2－|a|2≠0，即a⊥b，|b|≠|a|，故f(x)为一次函数时一定有a⊥b.当a⊥b且|a|＝|b|时，f(x)为常函数，所以“a⊥b”不是“f(x)为一次函数”的充分条件．题型一应用平面向量的几何意义解题例1平面上的两个向量OA→，OB→满足|OA→|＝a，|OB→|＝b，且OA→⊥OB→，a2＋b2＝4.向量OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，且a2x－122＋b2y－122＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP→＝x－12OA→＋y－12OB→；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．思维启迪：对第(1)问，可先求OM→，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M为线段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P，O，A，B四点共圆，结论即可得到．(1)证明因为点M为线段AB的中点，所以OM→＝12OA→＋12OB→.所以MP→＝OP→－OM→＝(xOA→＋yOB→)－12OA→＋12OB→＝x－12OA→＋y－12OB→.(2)解设点M为线段AB的中点，则由OA→⊥OB→，知|MA→|＝|MB→|＝|MO→|＝12|AB→|＝1.又由(1)及a2x－122＋b2y－122＝1，得|MP→|2＝|OP→－OM→|2＝x－122OA→2＋y－122OB→2＝x－122a2＋y－122b2＝1.所以|MP→|＝|MO→|＝|MA→|＝|MB→|＝1.故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的直径时，|OP→|max＝2.这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝|OA→|·|OB→|＝ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b＝2时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.探究提高本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|OP→|的最大值问题．已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC的形状为________三角形．答案等边解析因为非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又cos∠BAC＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，所以∠BAC＝π3.所以△ABC为等边三角形．题型二平面向量与三角函数的交汇例2已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．解(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝34，sinA＝32，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos180°－B－A－3B2＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－12cos2B＋32sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.探究提高向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．答案5π6解析∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，又∵asinA＝bsinB＝csinC，则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，∵0Bπ，∴B＝5π6.题型三平面向量与解析几何的综合问题例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最小值．解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0，得|PC→|2－14|PQ→|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.(2)因PE→·PF→＝(NE→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NP→)2－NF→2＝NP→2－1，P是椭圆x216＋y212＝1上的任意一点，设P(x0，y0)，则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，所以NP→2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋20.因y0∈[－23，23]，所以当y0＝23时，NP→2取得最小值(23－1)2＝13－43，(此时x0＝0)，故PE→·PF→的最小值为12－43.探究提高本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA→＝2AN→，求点N的轨迹方程．解设M(x0，y0)、N(x，y)．由MA→＝2AN→得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴x0＝3－2x，y0＝3－2y.∵点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.利用平面向量解三角形典例：(14分)已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝23sinA2，cos2A2，n＝cosA2，－2，m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cosB＝33，求b的长．审题视角先根据m⊥n，利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，然后利用正弦定理或余弦定理解题．规范解答解(1)已知m⊥n，所以m·n＝23sinA2，cos2A2·cosA2，－2＝3sinA－(cosA＋1)＝0，[2分]即3sinA－cosA＝1，即sinA－π6＝12，[4分]因为0Aπ，所以－π6A－π65π6，所以A－π6＝π6，所以A＝π3.[7分](2)在△ABC中，A＝π3，a＝2，cosB＝33，sinB＝1－cos2B＝1－13＝63，[10分]由正弦定理知：asinA＝bsinB，所以b＝a·sinBsinA＝2×6332＝423，所以b＝423.[14分]利用向量解三角形问题的一般步骤为第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．温馨提醒解三角形问题要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，灵活进行变形．向量只是题目的载体，三角形中的条件及转化才是解题关键.方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通