高中数学【配套Word版文档】6.2等差数列及其前n项和

§6.2等差数列及其前n项和2014高考会这样考1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3.考查等差数列的性质及综合应用．复习备考要这样做1.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项．1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值．[难点正本疑点清源]1．等差数列的判断方法(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.3．等差数列与函数在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.1．(2012·江西)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.答案35解析两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.2．已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则a2－a1b2－b1的值为________．答案34解析∵a2－a1＝14(y－x)，b2－b1＝13(y－x)，∴a2－a1b2－b1＝34.3．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.答案15解析∵{an}为等差数列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.4．(2011·江西改编)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝________.答案20解析因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.5．(2012·辽宁改编)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.答案88解析S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝88.题型一等差数列基本量的计算例1(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－22或d≥22.方法二∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.题型二等差数列的前n项和及综合应用例2(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．思维启迪：(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．解(1)方法一∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，∴d＝－53.∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653.∴a13＝0，即当n≤12时，an0，n≥14时，an0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋12×112×－53＝130.方法二同方法一求得d＝－53.∴Sn＝20n＋nn－12·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三同方法一求得d＝－53.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值．且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令an＝4n－250，①an＋1＝4n＋1－25≥0，②由①得n614；由②得n≥514，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则Tn＝21n＋nn－12×－4n≤666＋3n－6＋n－6n－72×4n≥7＝－2n2＋23nn≤6，2n2－23n＋132n≥7.探究提高求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得3a1＋3d＝－3，a1a1＋da1＋2d＝8，解得a1＝2，d＝－3，或a1＝－4，d＝3.所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝－3n＋7，n＝1，2，3n－7，n≥3.记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋n－2[2＋3n－7]2＝32n2－112n＋10.当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝4，n＝1，32n2－112n＋10，n≥2.题型三等差数列性质的应用例3设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.思维启迪：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，在涉及数列前n项和及某些项和的问题中常用到此性质．解由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216.∴a1＋an＝36.又Sn＝na1＋an2＝324，∴18n＝324.∴n＝18.探究提高本题的解题关键是将等差数列性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq与前n项和公式Sn＝na1＋an2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．答案(1)153(2)180解析(1)∵an＋1－an＝2，∴{an}为等差数列．∴an＝－7＋(n－1)·2，∴a17＝－7＋16×2＝25，S17＝a1＋a17×172＝－7＋25×172＝153.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒S20＝a1＋a202×20＝182×20＝180.整体思想在等差数列解题中的应用典例：(14分)设等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m≠n)，求它的前m＋n项的和Sm＋n.审题视角(1)Sm＋n＝a1(m＋n)＋m＋n－1m＋n2d＝(m＋n)·a1＋m＋n－12d，这样只要求出a1＋m＋n－12d即可．(2)由Sn，Sm可以构造出a1＋m＋n－12d，并求出．规范解答解方法一设{an}的公差为d，则由Sn＝m，Sm＝n，得Sn＝na1＋nn－12d＝m，①Sm＝ma1＋mm－12d＝n.②[4分]②－①得(m－n)a1＋m－nm＋n－12·d＝n－m，∵m≠n，∴a1＋m＋n－12d＝－1.[8分]∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋m＋nm＋n－12d＝(m＋n)a1＋m＋n－12d＝－(m＋n)．[1