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§1.3量词与逻辑联结词2014高考会这样考1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，判断命题的真假或求参数的范围；2.考查全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进行否定．复习备考要这样做1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑联结词与其他知识的交汇．1．全称量词与存在量词(1)“所有”、“每一个”、“任意”、“任何”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词称为全称量词，含有全称量词的命题，称为全称命题．(2)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在一个”都有表示个别或一部分的含义，这样的词称为存在量词，含有存在量词的命题称为存在性命题．2．命题的否定全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．3．逻辑联结词命题p∧q，p∨q，綈q的真假判断：pqp∧qp∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真[难点正本疑点清源]1．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．含一个量词的命题的否定全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．1．下列命题中，所有真命题的序号是________．①52且74；②34或43；③2不是无理数．答案①②解析①52和74都真，故52且74也真．②34假，43真，故34或43真．③2是无理数，故2不是无理数为假命题．2．(2012·湖北改编)命题“存在x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是__________________．答案任意x∈∁RQ，x3∉Q3．若命题“存在x∈R，有x2－mx－m0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“存在x∈R，有x2－mx－m0”是假命题，则“任意x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.4．设p：x2－x－20≤0，q：1－x2|x|－20，则綈p是q的________________条件．答案充分不必要解析綈p：x2－x－200，解得x－4或x5.q：1－x20|x|－20，或1－x20，|x|－20，解得－1x1或x2或x－2.所以綈p⇒q，但qD⇒/綈p.5．有四个关于三角函数的命题：p1：存在x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12；p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：任意x∈[0，π]，1－cos2x2＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝π2.其中的假命题是____________．答案p1，p4解析p1为假命题；对于p2，令x＝y＝0，显然有sin(x－y)＝sinx－siny，即p2为真命题；对于p3，由sin2x＝1－cos2x2，当x∈[0，π]时，sinx≥0，sinx＝1－cos2x2.于是可判断p3为真命题；对于p4，当x＝5π4时，有sinx＝cosy＝－22，这说明p4是假命题.题型一含有一个量词的命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：任意x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解(1)綈p：存在x0∈R，x20－x0＋140，假命题．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：任意x∈R，x2＋2x＋20，真命题．(4)綈s：任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．探究提高全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)存在x∈R，使4x－3x；(3)任意x∈R，x＋1＝2x.解(1)命题的否定：正方形不都是菱形．假命题．(2)命题的否定：任意x∈R,4x－3≤x.∵x＝2时，4×2－3＝52，∴“任意x∈R,4x－3≤x”是假命题．(3)命题的否定：存在x∈R，使x＋1≠2x.∵x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，∴“存在x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．题型二含有逻辑联结词的命题的真假例2命题p：若a，b∈R，则“|a|＋|b|1”是“|a＋b|1”的充要条件；命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．则下列命题是真命题的是________．①p∨q；②p∧q；③(綈p)∨(綈q)；④綈(p∨q)．思维启迪：先判断命题p与q的真假，再作出判断．答案①③解析由|a＋b|≤|a|＋|b|知，|a|＋|b|1推不出|a＋b|1，∴p为假命题．由|x－1|－2≥0，得|x－1|≥2，解得x≤－1或x≥3，∴q为真命题，从而綈p为真命题，綈q为假命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题，綈(p∨q)为假命题．探究提高(1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的新命题，并判断真假：(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解(1)p或q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p且q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是素数．真命题．(2)p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p且q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．题型三逻辑联结词与命题真假的应用例3已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋10的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p，q的真假，然后判断“p∧q”，“p∨q”，“綈p”的真假．解p为真命题⇔Δ＝m2－40，－m0⇒m2；q为真命题⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×10⇒1m3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真，q假时，由m2，m≤1或m≥3⇒m≥3；当p假，q真时，由m≤2，1m3⇒1m≤2.综上，知实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．探究提高含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的命题(一个或两个)的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．解∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a1.不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立，且a0，∴a2－4a0，解得0a4，∴q：0a4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．借助逻辑联结词求解参数范围问题典例：(14分)已知c0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．审题视角(1)p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．规范解答解∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.[2分]即p：0c1，∵c0且c≠1，∴綈p：c1.[3分]又∵f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，∴c≤12.即q：0c≤12，∵c0且c≠1，∴綈q：c12且c≠1.[5分]又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．[7分]①当p真，q假时，{c|0c1}∩c|c12且c≠1＝c|12c1.[9分]②当p假，q真时，{c|c1}∩c|0c≤12＝∅.[11分]综上所述，实数c的取值范围是c|12c1.[14分]第一步：求命题p、q对应的参数的范围．第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真只需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假．3．全称命题与存在性命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．失误与防范1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3．全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．下列命题中的真命题是________．①存在x0∈R，lgx0＝0;②存在x0∈R，tanx0＝1；③任意x∈R，x30;④任意x∈R,2x0.答案①②④解析对于①，当x0＝1时，lgx0＝0，正确；对于②，当x0＝π4时，tanx0＝1，正确；对于③，当x0时，x30，错误；对于④，任意x∈R,2x0，正确．2．(2012·湖北改编)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________________________________________________________________．答案任意一个无理数，它的平方不是有理数3．(2012·山东改编)设命题p：函数y＝