高中数学【配套Word版文档】七.常考题型强化练不等式

常考题型强化练——不等式A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．“|x|2”是“x2－x－60”的____________条件．答案充分不必要解析不等式|x|2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－60的解集是(－2,3)，于是当x∈(－2,2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立．2．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．答案10解析设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝10＋0.9x＋0.2x2＋0.2x2x，即y＝1＋10x＋x10(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋210x·x10＝3，当且仅当10x＝x10，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．3．(2011·四川改编)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z为________元．答案4900解析设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为x＋y≤12，2x＋y≤19，10x＋6y≥72，x≤8，y≤7，x∈N*，y∈N*，目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900.4．已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是___________．答案(－4,2)解析∵x0，y0，且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2ym2＋2m恒成立，只需(x＋2y)minm2＋2m恒成立，即8m2＋2m，解得－4m2.5．一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解(α，β)(α0)，则不等式cx2＋bx＋a0的解集为__________．答案1β，1α解析∵不等式ax2＋bx＋c0的解集为(α，β)，则a0，α＋β＝－ba，αβ＝ca，而不等式cx2＋bx＋a0可化为cax2＋bax＋10，即αβx2－(α＋β)x＋10，可得(αx－1)(βx－1)0，即x－1αx－1β0，所以其解集是1β，1α.6．已知点P(x，y)在曲线y＝1x上运动，作PM垂直于x轴于M，则△OPM(O为坐标原点)的周长的最小值为____________．答案2＋2解析三角形OPM的周长为|x|＋1|x|＋x2＋1x2≥2×|x|·1|x|＋2×x2×1x2＝2＋2(当且仅当|x|＝1|x|，即|x|＝1时取等号)．7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为__________元．(毛利润＝销售收入－进货支出)答案23000解析毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30，又P∈[20，＋∞)，故f(P)极大值＝f(P)max，故当P＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23000(元)．二、解答题(共27分)8．(13分)在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x1，x2，x3，每个工作台上有若干名工人．现要在x1与x3之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．(1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．解设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x)．(1)由题设，知x1≤x≤x3，所以d(x)＝x－x1＋|x－x2|＋x3－x＝|x－x2|－x1＋x3，故当x＝x2时，d(x)取最小值，此时供应站的位置为x＝x2.(2)由题设，知x1≤x≤x3，所以d(x)＝2(x－x1)＋|x－x2|＋3(x3－x)＝－2x＋3x3＋x2－2x1，x1≤xx2，3x3－x2－2x1，x2≤x≤x3.因此，函数d(x)在区间[x1，x2]上是减函数，在区间[x2，x3]上是常数．故供应站位置位于区间[x2，x3]上任意一点时，均能使函数d(x)取得最小值，且最小值为3x3－x2－2x1.9．(14分)某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如下图所示的矩形ABCD的休闲区，内部是矩形景观区A1B1C1D1，景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8000平方米，人行道的宽为5米(如下图所示)．(1)设景观区的宽B1C1的长度为x(米)，求休闲区ABCD所占面积S关于x的函数；(2)规划要求景观区的宽B1C1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使休闲区ABCD所占面积最小？解(1)因为AB＝10＋8000x，BC＝10＋x，所以S＝10＋8000x(10＋x)＝8100＋80000x＋10x(x0)．所以休闲区ABCD所占面积S关于x的函数是S＝8100＋80000x＋10x(x0)．(2)S＝8100＋80000x＋10x(0x≤50)，令S′＝10－80000x2＝0，得x＝405或x＝－405(舍去)．所以当0x≤50时，S′0，故S＝8100＋80000x＋10x在(0,50]上单调递减．所以函数S＝8100＋80000x＋10x(0x≤50)在x＝50取得最小值，此时A1B1＝800050＝160(米)．所以当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD所占面积S最小．B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共15分)1．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为f1010)的月饼最小值为________．答案18解析平均销售量y＝ftt＝t2＋10t＋16t＝t＋16t＋10≥18.当且仅当t＝16t，即t＝4∈(0,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18.2.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成60°角(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为__________．答案[3,4]解析根据题意知，93＝12(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·x2＝BC＋x，h＝32x，∴93＝12(2BC＋x)×32x，得BC＝18x－x2，由h＝32x≥3，BC＝18x－x20，得2≤x6.∴y＝BC＋2x＝18x＋3x2(2≤x6)，由y＝18x＋3x2≤10.5得3≤x≤4.∵[3,4][2,6)，∴腰长x的范围是[3,4]．3．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为________元．答案12480解析设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则0≤x≤100≤y≤208x＋2.5y≥100x∈N*y∈N*，目标函数z＝960x＋360y，此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，且其最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12480(元)．4.如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小值是________平方米．答案968解析设鱼池的长EH＝x，则EF＝800x，占地总面积是(x＋4)·800x＋2＝808＋2x＋1600x≥808＋2·2x·1600x＝968.当且仅当x＝1600x，即x＝40时，取等号．5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案58解析每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．6．将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是________．答案3233解析设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为12·(x＋1)·32·(1－x)，所以s＝3－x212·x＋1·32·1－x＝43·3－x21－x2(0x1)．利用导数求函数的最小值：由s(x)＝43·3－x21－x2，得s′(x)＝43·2x－6·1－x2－3－x2·－2x1－x22＝43·－23x－1x－31－x22.令s′(x)＝0，且0x1，解得x＝13.当x∈0，13时，s′(x)0；当x∈13，1时，s′(x)0.故当x＝13时，s取最小值3233.二、解答题(共28分)7．(14分)已知函数f(x)＝mx2－mx－1，(1)若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对于m∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数x的取值范围．解(1)由题意可得m＝0或m0Δ＝m2＋4m0⇔m＝0或－4m0⇔－4m≤0.故m的取值范围为(－4,0]．(2)∵f(x)－m＋5⇔m(x2－x＋1)6，∵x2－x＋10，∴m6x2－x＋1对于x∈[1,3]恒成立，记g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]min＝g(3)＝67，∴m67.所以m的取值范围为－∞，67.(3)∵f(x)－m＋5⇔(x2－x＋1)m－60，∴(x2－x＋1)m－60对于m∈[1,3]恒成立，记g(m)＝(x2－x＋1)m－6，m∈[1,3]，因为x2－x＋10，则g(m)在[1,3]上为增函数，∴[g(m)]max＝g(3)＝3(x2－x＋1)－60，∴x2－x－10，∴1－52x1＋52.所以x的取值范围为1－52，1＋52.8．(14分)某仪器厂定期购买面粉．