高中数学【配套Word版文档】专题四三角函数与平面向量的综合应用

专题四三角函数与平面向量的综合应用1．三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围．2．三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asint，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的．3．解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1．已知角α终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值为________．答案－34解析cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α＝－sinα·sinα－sinα·cosα＝tanα.根据三角函数的定义得tanα＝yx＝－34.所以cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α＝－34.2．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案π6解析f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)＝2sinx＋θ＋π3，由θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝π6.3.如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|∈0，π2)图象的一部分，则f(x)的解析式为____________．答案f(x)＝2sin23x＋π6＋1解析由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.由于2＝2sinφ＋1，且|φ|∈0，π2，得φ＝π6.由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，得ω＝－2k＋23(k∈Z)．又2πω2π，∴0ω1.∴ω＝23.∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin23x＋π6＋1.4．(2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝___________.答案1010解析方法一应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝5，则sin∠CEB＝15，cos∠CEB＝25.而∠CED＝45°－∠CEB，∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)＝22(cos∠CEB－sin∠CEB)＝22×25－15＝1010.方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED＝2，EC＝12＋22＝5.在△EDC中，由余弦定理得cos∠CED＝CE2＋DE2－DC22CE·DE＝31010，又0∠CEDπ，∴sin∠CED＝1－cos2∠CED＝1－310102＝1010.5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当PD→·PA→取得最小值时，tan∠DPA的值为________．答案1235解析如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β，P(3，y)(0≤y≤2)．∴PD→＝(－3,1－y)，PA→＝(－3，－y)，∴PD→·PA→＝y2－y＋9＝y－122＋354，∴当y＝12时，PD→·PA→取得最小值，此时P3，12，易知|DP→|＝|AP→|，α＝β.在△ABP中，tanβ＝312＝6，tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝2tanβtan2β－1＝1235.题型一三角恒等变换例1设π3α3π4，sinα－π4＝35，求sinα－cos2α＋1tanα的值．思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．解方法一由π3α3π4，得π12α－π4π2，又sinα－π4＝35，所以cosα－π4＝45.所以cosα＝cos[(α－π4)＋π4]＝cosα－π4cosπ4－sinα－π4sinπ4＝210，所以sinα＝7210.故原式＝sinα＋2sin2αsinαcosα＝cosα(1＋2sinα)＝14＋5250.方法二由sinα－π4＝35，得sinα－cosα＝325，两边平方，得1－2sinαcosα＝1825，即2sinαcosα＝7250.由于π3α3π4，故π3απ2.因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝3225，故sinα＋cosα＝425，解得sinα＝7210，cosα＝210.下同方法一．探究提高三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是________．答案－45解析cosα－π6＋sinα＝435⇒32sinα＋32cosα＝435⇒sinα＋π6＝45，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.题型二三角函数的图象与性质例2(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(π3x＋φ)，x∈R，A0,0φπ2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解(1)由题意得T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asin(π3x＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0φπ2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－9＋4A22A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A0，所以A＝3.探究提高本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点．已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A，B，ω是常数，ω0)的最小正周期为2，并且当x＝13时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解(1)因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x＝13时，f(x)max＝2，知13π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，所以f(x)＝2sinπx＋2kπ＋π6＝2sinπx＋π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sinπx＋π6.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝k＋13，由214≤k＋13≤234，解得5912≤k≤6512，又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝163.题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．解(1)m·n＝3sinx4·cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋1＋cosx22＝sinx2＋π6＋12，∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12.cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝12，∵0Bπ，∴B＝π3.∴0A2π3.∴π6A2＋π6π2，sinA2＋π6∈12，1.又∵f(x)＝sinx2＋π6＋12.∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.故函数f(A)的取值范围是1，32.探究提高(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.(1)判断△ABC的形状；(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值．解(1)因为lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0，所以ab＝cosBcosA≠1，所以sin2A＝sin2B且a≠b.因为A，B∈(0，π)且A≠B，所以2A＝π－2B，即A＋B＝π2且A≠B.所以△ABC是非等腰的直角三角形．(2)由m⊥n，得m·n＝0.所以2a2－3b2＝0.①由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14，所以a2＋9b2－4a2－b2＝14，即－3a2＋8b2＝14.②联立①②，解得a＝6，b＝2.所以c＝a2＋b2＝10.故所求的a，b，c的值分别为6，2，10.高考中的平面向量、三角函数客观题典例1：(2012·山东改编)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想．求解策略根据整体思想，找出角π6x－π3的范围，再根据图象求函数的最值．规范解答解析由题意－π3≤πx6－π3≤7π6.画出y＝2sinx的图象如图，知，当π6x－π3＝－π3时，ymin＝－3.当π6x－π3＝π2时，ymax＝2.故ymax＋ymin＝2－3.答案2－3解后反思(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)可看作由函数y＝Asint和t＝ωx＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．典例2：(2012·天津改编)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－2，则λ＝________.考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．求解策略根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ→，CP→分别用向量AB→，AC→表示出来，再进行数量积计算．规范解答解析BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，