高中数学【配套Word版文档】四.4.6三角恒等变换及应用

§4.6三角恒等变换及应用2014高考会这样考1.利用三角恒等变换求值或化简；2.在三角恒等变换基础上，考查三角函数的图象和性质．复习备考要这样做1.熟练掌握三角函数和差公式、倍角公式；2.会灵活应用公式，掌握一些常用技巧．1．降幂公式sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.2．几个恒等式(1)sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2cosθ－φ2；cosθ＋cosφ＝2cosθ＋φ2cosθ－φ2.(2)万能代换：sinα＝2tanα21＋tan2α2；cosα＝1－tan2α21＋tan2α2；tanα＝2tanα21－tan2α2.[难点正本疑点清源]1．利用降幂公式可以计算α2的三角函数值，其中的符号由α2所在象限确定．2．公式的逆用、变形用是三角变换的常用技巧．3．注意公式asinα＋bcosα形式的三角式子的变形．1．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2＝________.答案－63解析cosα＝2cos2α2－1＝13，∴cos2α2＝23，∴cosα2＝±63，∵α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，cosα20，∴cosα2＝－63.2．tanπ12－1tanπ12＝________.答案－23解析原式＝sinπ12cosπ12－cosπ12sinπ12＝－cos2π12－sin2π12sinπ12cosπ12＝－cosπ612sinπ6＝－23.3．若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ＝________.答案－725解析∵sinπ2＋θ＝cosθ＝35，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725.4．若α，β均为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为________．答案7π4解析∵α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－552＝－255，sinβ＝1－cos2β＝1－－310102＝1010.∵πα＋β2π，故由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255－31010－55×1010＝22，得α＋β＝7π4.5．f(tanx)＝cos2x，则f(3)＝________.答案－12解析f(tanx)＝cos2x＝cos2x－sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x，∴f(3)＝1－321＋32＝－12.题型一三角函数的化简与求值例1(1)已知3π4απ，tanα＋1tanα＝－103，求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值；(2)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210，求β.思维启迪：(1)求值要对已知和所求式子进行化简；(2)求角β要先从α出发，结合α、β关系求β的范围和三角函数值．解(1)∵3π4απ，∴－1tanα0，由tanα＋1tanα＝－103，得：3tan2α＋10tanα＋3＝0，∴tanα＝－13或tanα＝－3(舍去)．5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2＝521－cosα＋4sinα＋1121＋cosα－8－2cosα＝3cosα＋4sinα－2cosα＝－322－22tanα＝－322－22×－13＝－526.(2)∵0απ2，tanα2＝12，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝11－14＝43.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝45.又因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.又cosα＝1－452＝35，所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈π2，π，所以β＝3π4.探究提高已知角的范围求角，要选用合适的三角函数，一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数；若角范围是0，π2，正、余弦函数均可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是－π2，π2时，则一般选正弦函数．(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.解(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°.＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.题型二三角形中的恒等变换例2已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2C2＋cosC2＝2.(1)求角C的大小；(2)若a，b，c成等比数列，求sinA的值．思维启迪：由2sin2C2＋cosC2＝2，得cosC2＝2(1－sin2C2)＝2cos2C2，于是由cosC2≠0，可得cosC2＝22，从而C＝π2.解(1)由2sin2C2＋cosC2＝2，得21－cos2C2＋cosC2＝2，整理得cosC22cosC2－1＝0.因为在△ABC中，0Cπ，所以0C2π2.所以cosC2＝22(舍去cosC2＝0)，从而C2＝π4，即C＝π2.(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.由(1)知，△ABC是以角C为直角的直角三角形，所以c2＝a2＋b2，将b2＝ac代入，整理得a2＋ac－c2＝0，上式两边同除以c2，得a2c2＋ac－1＝0，因为sinA＝ac，所以sin2A＋sinA－1＝0.又0Aπ2，解得sinA＝5－12(舍去sinA＝－1－52)．探究提高在三角形中，由边角关系求三角函数值或角度，正、余弦定理是转化的工具，解这类问题，充分考查了三角恒等变换的能力．△ABC的三内角分别为A、B、C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，求C.解∵m·n＝3sinAcosB＋3sinBcosA＝3(sinAcosB＋sinBcosA)＝3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，∴3sinC＝1－cosC，∴3sinC＋cosC＝1，即2sinC＋π6＝1，∴sinC＋π6＝12，又C∈(0，π)，∴C＋π6＝56π，∴C＝23π.题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．思维启迪：(1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.所以，f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤5π4.所以－22≤sin2x＋π4≤1,0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12.探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．解(1)因为f(x)＝3sin2x－π6＋1－cos2x－π12＝2[32sin2x－π6－12cos2x－π6]＋1＝2sin2x－π6－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，此时2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．构造法在三角函数中的应用典例：(14分)已知函数f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．审题视角(1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f(x)＝asinx＋bcosx的形式时，可考虑辅助角公式．规范解答解(1)因为f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sinxcosx[2分]＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，所以最小正周期T＝π.[7分](2)由f(α)＝1，得2sin2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈π3，7π3，[10分]所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[14分]温馨提醒(1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是：辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)，或asinα＋bcosα＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanφ＝ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值，常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形．失误与防范1．三角恒等