高中数学【配套Word版文档】四45两角和与差的正弦余弦和正切

§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切2014高考会这样考1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质．复习备考要这样做1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β＝tanα－tanβtanα－β－1.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．[难点正本疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．1．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tanαtanβ的值为______________________．答案713解析由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝23，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－15，得sinαcosβ＝730，cosαsinβ＝1330，所以sinαcosβcosαsinβ＝tanαtanβ＝713.2．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为______________________．答案－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)解析f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝2×1－cos2x2＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝2sin2x－π4＋1，由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ，k∈Z.所以所求区间为－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．答案17250解析∵α为锐角且cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.4．(2012·江西改编)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝_____________________________.答案34解析由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.5．(2011·辽宁改编)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝___________.答案－79解析sin(π4＋θ)＝22(sinθ＋cosθ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79.题型一三角函数式的化简、求值问题例1(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．解(1)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.(2)原式＝2sin50°＋sin10°×cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°×12cos10°＋32sin10°cos10°×2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.探究提高(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构/与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．答案3解析因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3，所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝tanA2＋C21－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝31－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝3.题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．思维启迪：(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.探究提高(1)注意变角α－β2－α2－β＝α＋β2，可先求cosα＋β2或sinα＋β2的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β.解∵0βαπ2，∴0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，cosα＝17，0βαπ2，∴sinα＝1－cos2α＝437，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0βπ2，∴β＝π3.题型三三角等式的证明例3已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R，cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0αβ≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.思维启迪：三角条件等式的证明要观察条件和结论间的联系，逐步转换，注意消除两者角之间的差别．证明f(x)＝sinx＋7π4－2π＋cosx－π4－π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4.由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45，两式相加得2cosβcosα＝0，∵0αβ≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.探究提高三角条件等式或恒等式的证明，都应化繁为简，实现角、函数名称的统一．证明中要注意寻找题中角的联系、式子的联系，巧妙使用降次、公式逆用或变形用等技巧．求证：sin2A＋BsinA－2cos(A＋B)＝sinBsinA.证明左边＝sin[A＋B＋A]－2cosA＋BsinAsinA＝sinA＋BcosA＋cosA＋BsinA－2cosA＋BsinAsinA＝sinA＋BcosA－cosA＋BsinAsinA＝sin[A＋B－A]sinA＝sinBsinA＝右边．所以等式成立．三角函数求值问题忽视角的范围典例：(5分)已知tanα＝17，tanβ＝13，α、β均为锐角，则α＋2β的值为________．易错分析解题中往往不考虑α＋2β的范围或者范围过大，无法舍掉其中不适合的解导致错误．本题应结合“锐角”这个条件和函数值确定α、β的范围．规范解答解析∵α、β均为锐角，∴0απ2，0βπ2，又tanα＝171，tanβ＝131，∴0απ4，0βπ4，∴0α＋2β3π4.∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝34，tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝17＋341－17×34＝1，∴α＋2β＝π4.答案π4温馨提醒在三角函数求值问题中，要结合题意正确确定题中角的范围，题中的函数值隐含了其中角的范围，范围的确定以三角函数值不产生增解为标准.方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22.2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)有：a2＋b2≥|y|.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的