高中数学一轮复习资料

[键入文字]．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．①若b⊂α，c∥α，则b∥c②若b⊂α，b∥c，则c∥α③若c∥α，α⊥β，则c⊥β④若c∥α，c⊥β，则α⊥β解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c⊂α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．答案：④2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m⊂平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件．解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接围是(12，近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范1)．答案：(12，1)5．(原创题)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．解析：若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．答案：④6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，[键入文字]＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1.因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1.所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C.而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.B组1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是____．①a⊥α，b∥β，α⊥β②a⊥α，b⊥β，α∥β③a⊂α，b⊥β，α∥β④a⊂α，b∥β，α⊥β解析：由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，又a⊂α，故a⊥b.答案：③2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α解析：由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α.答案：②3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．答案：②4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n[键入文字]④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α⇒m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．①c⊥α，若c⊥β，则α∥β②b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b③b⊂β，若b⊥α，则β⊥α④b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c解析：当b⊂β，若β⊥α，则未必有b⊥α.答案：③6．已知二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为________．解析：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补．∵二面角α－l－β为30°，∴异面直线m、n所成的角为30°.答案：30°7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．答案：AB8．(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________．解析：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP.∴在Rt△ABH中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ.在△BHC中，CH2＝(3cosθ)2＋42－2×4×3cosθ×cos(90°－θ)，∴在Rt△ACH中，AC2＝25－12sin2θ，∴θ＝45°时，AC长最小．答案：45°9．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝32AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．为32a.解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长由PM⊥BC，∴PM＝32a2－a22＝22a，连结PG并延长与AD相交于N点，则PN＝22a，MN＝AB＝a，∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN，又PM⊥AD，∴PM⊥面PAD，∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数10．如图，在三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．(1)求证：OE∥平面SAB；[键入文字](2)求证：平面SOF⊥平面SAB.证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG，∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A，∴平面EGO∥平面SAB，OE⊂平面OEG∴OE∥平面SAB(2)∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥OB，SO⊥OA，又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋OB2，∴SA＝SB，又F为AB中点，∴SF⊥AB，∵SO⊥AB，∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面SOF，∵AB⊂平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB.11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.证明：(1)取CC1的中点G，连结B1G交C1F于点F1，连结E1F1，A1G，FG，∵F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，∵四边形FGC1B1也是矩形，∴FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点．又E1是A1B1的中点，∴A1G∥E1F1.又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点，∴A1E綊CG，∴四边形A1ECG是平行四边形，∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE.∵CE⊄平面C1E1F，E1F1⊂平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.(2)∵长方形BCC1B1中，BB1＝2BC，F是BB1的中点，∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形，∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°，∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°，∴C1F⊥CF.∵E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊥平面BCC1B1，又C1F⊂平面BCC1B1，∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F.又CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面CEF.∵C1F⊂平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF.12．(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．求证：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC；(3)若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.证明：(1)BC＝ACAE＝BE⇒CE⊥AB，同理，[键入文字]AD＝BDAE＝BE⇒DE⊥AB，又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.(2)由(1)知AB⊥平面CDE，又∵AB⊂平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.AGGH＝21，(3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，则在AE上取点F使得AFFE＝21，则GF∥EH，