高中数学三角函数常见习题类型及解法

－94－高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。一、知识整合1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()yAx的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．二、高考考点分析2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。三、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。－95－3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1．已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例2．求函数21sincos(sincos)yxxxx的值域。解：设sincos2sin()[22]4πtxxx，，则原函数可化为22131()24yttt，因为[22]t，，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3[32]4y，。例3．已知函数2()4sin2sin22fxxxxR，。（1）求()fx的最小正周期、()fx的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数()fx的图像关于直线8πx对称。解：22()4sin2sin222sin2(12sin)fxxxxx－96－2sin22cos222sin(2)4πxxx(1)所以()fx的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2242ππxkπ，即38πxkπ时，()fx最大值为22；(2)证明：欲证明函数()fx的图像关于直线8πx对称，只要证明对任意xR，有()()88ππfxfx成立，因为()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，所以()()88ππfxfx成立，从而函数()fx的图像关于直线8πx对称。例4．已知函数y=21cos2x+23sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos2x+23sinx·cosx+1=41(2cos2x－1)+41+43（2sinx·cosx）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x·sin6+sin2x·cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以y取最大值时，只需2x+6=2+2kπ,（k∈Z），即x=6+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数－97－y=21sin(2x+6)的图像；（iv）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=22basin(ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=xxxxx222cossincossin23cos21+1=xx2tan1tan2321+1化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：43≤y≤47∴ymax=47，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+6,k∈Z}例5．已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（Ⅰ）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf（Ⅰ）由)332sin(x=0即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213（Ⅱ）由已知b2=ac，，，，，，231)332sin(31)332sin(3sin|295||23|953323301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax即)(xf的值域为]231,3(.－98－综上所述，]3,0(x，)(xf值域为]231,3(.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例6．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sinB的值；(2)若42b，且a=c，求ABC的面积。解：(1)由正弦定理及cos3cosCacBb，有cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sincossincosBCABCB，所以sin()3sincosBCAB，又因为ABCπ，sin()sinBCA，所以sin3sincosAAB，因为sin0A，所以1cos3B，又0Bπ，所以222sin1cos3BB。(2)在ABC中，由余弦定理可得222323acac，又ac，所以有22432243aa，即，所以ABC的面积为211sinsin8222SacBaB。例7．已知向量2(2cossin)(sincos)(3)aααbααxatb，2，=，，，ykab，且0xy，(1)求函数()kft的表达式；(2)若[13]t，，求()ft的最大值与最小值。解：(1)24a，21b，0ab，又0xy，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0xyatbkabkatbtktab，所以31344ktt，即313()44kfttt；－99－(2)由(1)可得，令()ft导数233044t，解得1t，列表如下：t－1(－1，1)1(1，3)()ft导数0－0+()ft极大值递减极小值递增而119(1)(1)(3)222fff，，，所以maxmin91()()22ftft，。例8．已知向量25(cossin)(cossin)||5aααbββab，，=，，，(1)求cos()αβ的值；(2)(2)若500sinsin2213ππαββα，，且，求的值。解：(1)因为(cossin)(cossin)aααbββ，，=，，所以(coscossinsin)abαβαβ，，又因为25||5ab，所以2225(coscos)(sinsin)5αβαβ，即4322cos()cos()55αβαβ，；(2)00022ππαβαβπ，，，又因为3cos()5αβ，所以4sin()5αβ，5sin13β，所以12cos13β，所以63sinsin[()]65ααββ例9．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos),cos,1(xxQxP（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数)(xf；（2）求的最值.解：（1）cosOQOPOQOP，－100－xxxxx22cos1cos2coscos)cos1(coscos即xxxf2cos1cos2)()44(x（2）xxcos1cos2cos，又]223,2[cos1cosxx，]1,322[cos，0min，322arccosmax.说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。