高中数学中古典概率应用上之易错处探究

第1页共15页高中数学中古典概率应用上之易错处探究戴少奇西南大学数学与统计学院，重庆，400715摘要：本研究关注的是高中理科生在学习高中概率的过程中存在的典型错误及其错误的原因，本文通过对教材分析、课堂观察以及日常作业情况找出学生存在的典型错误，再参考教材及与在职教师的探讨后，根据所掌握的统计结果和学生的访谈情况对存在错误的可能性作出归因分析。关键词：高中数学；概率；易错题；探究Someexplorationsonerror-proneexerciseofclassicalprobabilityinhighschoolmathematicsDaiShaoqiSchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,chinaAbstract:Thisstudyfocusesonthetypicalmistakeofhighschoolsciencestudentsinthecourseoflearingprobabilityandthereasonsofthesemistake.weexplorethertypicalmistakesofthestudentsbytheanalysisoftheteachingmaterals,classroomobservation,anddailyoperations.Finaly,accordingtoteachingmaterials,thediscussionswithserviceteachers.availablestatisticsandinterviewswithstudents,wegivesomeattributiionanalysisontheprobabilityoftheexerciseoftheerrors.Keywords:highschoolmathematics;probability;error-proneexercise;exploration1.问题的提出1.1研究背景在日常生活中，人们经常要在不确定的情况下做出决定，如在买彩票时，要凭借每一个号码出现的情况来预测结果,人们在乘坐飞机时都要根据该飞机的飞行状况来确定是否买保险,我们常常根据自己的经验判断某一件事情发生的可能性大小等。可以这样说，在我们所生活的世界上，充满了不确定性和随机性。因此我们就试图通过某一种确定的东西来猜测这样一种不确定性，而这样一种能够提供给我们参考的数据就是某一件事件发生的概率(probability),它在帮助人们正确的处理信息、作出合理的决策方面有着很大的参考价值，同时也成为人们处理事情所必须掌握的基本素质之一。从20世纪90年代后期起，概率又被重新列入“实验”，随着2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的颁布，基础教育课程改革拉开序幕。2003年《普通高第2页共15页中数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的颁布，明确将概率列为必学的内容。2004年9月，普通高中新课程正式启动，广东、山东、海南、宁夏四省率先实验。截至2008年秋季，实验区已扩大到了全国十九个省、市。按照教育部的规划，2010年以前普通高中新课程将在全国全面铺开。但就目前高三学生来说，除了十个省、市（宁夏、广东、山东、海南、江苏、福建、浙江、辽宁、安徽、天津）使用的是依据《标准》编制的新课程教材外，其他大部分地区使用的仍然是依据2002年《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》），由人民教育出版社统一编制的《全日制普通高级中学教科书·数学》，即大纲版教材。由于《大纲》和《标准》对学生的要求不同，对概率知识的安排也有所不同。《大纲》将高中概率分为必修部分和选修部分，其中必修部分包括随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验等，约12课时，安排在高二下学期学习；选修部分的离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容仅理科生学习，约5课时，安排在高三上学期。《标准》基本上涵盖了《大纲》的内容，将频率与概率、互斥事件的概率及古典概型结合在一起，构成必修部分，安排在数学3，约8课时；把离散型随机变量及其分布列、超几何分布、相互独立事件、独立重复试验及二项分布、离散型随机变量的均值与方差等结合在一起构成选修部分，安排选修2-3次，约12课时。大纲版教材是以古典概型为主，在学生具备排列组合知识的基础上引入概率，大多数教师、命题者和教材编写者都倾向于将注意力放在繁琐的概率运算上，而不关注学生对随机思想的理解。新课程教材在内容编排上把概率放在“统计”一章之后、“计数原理”之前，在没有学习排列组合知识的情况下安排直接讲概率，这样减少了排列组合知识对理解概率、随机现象的干扰，淡化了繁琐的概率运算，有利于将重心拉回到对学生随机思想的培养上。针对概率教学，《标准》明确指出：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识。但在现实的概率教学中，由于受升学压力的影响，教师在课堂上基本上采取的是考什么教什么的策略，再加上概率进入高中只有短短的几年，大多数教师还没有形成适合自己的教学方法和教学理念。教师普遍感到难教，学生普遍感到难学。相当一部分教师在教学过程中忽视学生的主动性和创造意识的培养，过分追求问题的封闭化、解题的模式化、答案的唯一性，从内容上忽视随机现象和不确定性，把重点放在对一些第3页共15页概念的死记硬背和对计算技能的重复训练上，结果造成学生学了概率统计不懂得随机思想，不会在日常生活中使用数据处理问题的现象。教师采用的教学方法多是以教师讲授为主，学生动手试验的机会很少，教学方式基本上是一块黑板，两支粉笔，教学的目的侧重于让学生掌握考试大纲中的知识点，而非培养学生的随机思想。概率是新课程下高中数学的主要组成部分，如何更好的搞好概率教学是必须要引起重视的问题。随着概率进入高中课程的推进，人们对概率的重视程度日益加强，概率的教与学问题也逐步暴露出来，尤其是反映在学生的学习上。根据学生的心理发展特征，高中生虽然已经具备学习概率统计知识的思维发展水平，但由于概率本身的不确定性与学生过去接触的确定性数学有很大的差别，加上我国高中概率教学又轻实验偏理论，尽管学生有一定概率学习基础，但在实际中还存在很大的问题。近些年的高考反映高考数学概率题的普遍得分率不高，如2006年湖南高考平均得分6.64分，2008年重庆高考5.89分，2008年河南高考30万样卷抽样显示只有零点几分(满分13分)。那么到底学生在概率的学习中犯了哪些错误?为什么会犯这些错误?这些都是亟待解决的问题。1.2研究问题据自己所收集的资料，以及和学生、老师的交流所得到的信息，很多同学在做概率题错误以后没有去找明确的原因，而是仅仅停留在把怎样把这个概率题解对的层面上，老师也没有去关注这样一个问题，鉴于以上事实，该论文着重研究以下两个问题：(1)现行高中教材中的概率题型以及正确的解题思路的探究。(2)对学生错误的思想进行归纳并试图找到合适的建议。1.3研究意义通过这个研究，能够基本归纳出绝大部分高中概率的题型以及解决对策，为学生提供思路以及为老师在解决概率问题时提供参考，其次在了解学生的错误思路以后，老师在解决部分思路错误的学生的问题时也能够对症下药，达到能够帮助学生学习好这一部分内容的目的，为进一步促进高中数学的教学提供参考。2研究的设计与实施2.1概率中基本概念（1）分类计数原理：它又称为加法原理，既完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中2m有种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法。那么完成这件事情共有第4页共15页nmmmN21种不同的方法。（2）分步计算原理：它又称为乘法原理，既完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m不同的方法……做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法。（3）排列:一般地，从n个元素中取出m个元素（nm），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。从n个元素中取出m个元素（nm）的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示，)1()2)(1(mnnnnAmn。（4）组合：一般地，从n个不同元素中取出m个元素（nm）并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。从n个元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示。!)1()2)(1(mmnnnnAACmmmnmn。（5）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件。（6）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件。（7）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。（8）在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数。比值nnA称为事件A发生的频率。（9）一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率nnA总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的频率，记作)(AP，且一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一个事件A由几个基本事件组成，如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组第5页共15页成。而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是n1。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率nmAP)(。2.2关于学生学习概率情况调查我于2009年3月份到遵义市高坪中学的高二年级的两个班分别进行了一次摸底测试，且于2010年的3月份到期间到川外附中实习三个星期，实习内容为批改学生的卷子和平时的作业，内容都是排列组合与概率知识。根据自己的实际调查，得到如下调查资料。（1）学生在没有能够理解透彻题目所需要求的问题时，片面或者主观的去理解题目，然而概率题型对审题的要求和仔细的理解是非常重要的，从而导致粗偶尔。这些问题主要归纳为:“有放回摸球”与“无放回摸球”的理解；“连排与间隔排”的理解；“圆排列问题重复组合问题”；“易重复计算或者漏计算”；对“隔板法的理解”；“分组问题的解法”等知识性错误以及计算错误，很多同学已经列出了概率的相应表达式，但是由于对排列组合公式的计算出现问题而导致答案的错误，所以引导学生对基本概念的理解是非常重要的。（2）老师在讲授新课时对事件、样本空间、事件的随机性等基本概念的强调不够，导致学生思维的惰性。2.3易错题的探究2.3.1“有放回摸球”与“无放回摸球”“有放回摸球”与“无放回摸球”主要有以下区别：（1）无放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球时总数比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋内，下次再摸球时袋内球的总数不变。（2）“无放回摸球”各次抽取不是相互独立的，而“有放回摸球”每次是相互独立的。下面通过一个例题来进一步的说明“无放回摸球”与“有放回摸球”的区别。例1袋中有1，2，3，…，N号球各一个，采用①无放回，②有放回的两种方式摸球，试求在第k次摸球时首先摸到一号球的概率。解：设iB为事件“第i次摸到一号球”),2,1(ki。①无放回摸球第6页共15页若把k次摸出的k个球排成一排，则从N个球任取k个球的每个排列就是一个基本事件，因此基本事件的总数为以数码1，2，…，N中任取k个数码的排列数，kNPn。下面求事件kB包含的基本事件数m，事件kB可分两步完成：先在第k个位置上排上1号球，只有一种排法，再在前1k个位置排其它1N个球，共有11kNP种排法，由乘法原理知，事件kB包含的基本事件数为11111kNkNPPm，从而NPPnmBPkNkNk1)(11。②有放回的摸球因为有放回摸球，每次袋中都有N个球，共摸k