高中数学中的不等式

高中数学中的不等式（一）目录前言（一）不等式的概念（二）不等式的基本性质（三）不等式的分类（四）常用不等式介绍（五）重要不等式介绍（六）两个重要的工具（七）不等式的证明例题介绍（八）不等式的解法例题介绍（九）不等式的应用例题介绍（十）综述软件（数学公式编辑器，几何画板，lingo,matalab等）正文：一不等式的概念不等式在我们的日常生活中很常见，它是与等式相对的一个概念。为了给不等式一个确切的概念，下面我介绍一下集合论的简单知识。“集合论创始人Cantor称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西，人们能够意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。”[1]1AA,AAAaaaAaaa定义：如果是集合的元素，则称属于，记作，反之如果不是集合的元素，则称不属于，记作。[2]2ABABABABABABBAABAB定义：如果集合和的元素完全相同，则称和相等，记作＝，如果集合中的每一个元素都是集合中的元素，称包含于，记作（当中还有不属于集合的元素，则称真包含于，记作）。[3]列出集合的元素的方式，一般采用枚举法、描述法和归纳法。其实我们可以将不等式归为一类集合，如下：123123123{}{(,,,...)0(,,,...)0|(,,,...)R}Ufxxxfxxxfxxx不等式或者为一个定义在实数集上的函数。一般地，在数学上，不等式表明两个对象的大小或者顺序的二元关系。不等关系主要有四种：,,,,,abababababababababab即小于即大于上述两个属于严格不等。即小于等于即大于等于即不等于将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。我们现在就引入集合的几种运算，从集合理论中来对它进行更深刻的认识。3.1{|}3.2{|}3.3{|}xxAxxxAxxxAx定义：集合A与集合B的并集记为AB，而AB或者B；定义：集合A与集合B的交集记为AB，而AB且B；定义：集合A与集合B的差集记为A-B，而A-B且B。根据上面的定义，我们就可以推出下面的运算性质：定理1：设E为全集，则对任意子集A,B,C而言，我们有如下的结论：（1）并的交换律：AB=BA；（2）交的交换律：AB=BA；（3）并的结合律：A(BC)=(AB)C；（4）交的结合律：A(BC)=(AB)C；（5）并对交的分配律：A(BC)=(AB)(AC)；（6）交对并的分配律：A(BC)=(AB)(AC)；（7）零元：A=A，A=；（8）单位元：AE=A，AE=E。它们的证明可以参看朱梧槚、肖奚安教授所著《集合论导引》25页的证明。要理解不等式，其实质上是“不等”，我们就利用上面的知识来阐释“不等”。当然我们还要一个概念——卡氏积，下面就来介绍卡氏积。首先，我们给出“序偶”的概念。1921年，K.Kuratowsk给出的定义，也是我们现在普遍采用的一种。5,,,,,,,,,,,,,,xyxxyxyuvxuyvxyuvxxyuuvxyxxxxyxxxuuvxuuv定义：={{},{}}。我们利用集合的定义及性质，可以证明得出下面的定理。定理5：且。证明：，则有{{},{}}{{},{}},下面我们分两种情况进行分类讨论：1）当时则有{}={},即=={{}}={{},{}},于是得到{}{}={}，根,,,,,,,,,,,,,,xyuvxyxxyxuuvxuxuxyuvxvyuxuvxuvxxyuuvxxxyxuyvxuxyuvxy据集合的定义，。2）当时则有{}{}，于是{}{{},{}},若{}{}，则，然后{}{}{},得出；若{}{}，则，从而有{{},{}}{{},{}}{{}}即{}={}，矛盾。因为且，则{}{}，{}{}，因此={,,,xxyuuvuv{},{}}{{},{}}。6{,|},ABABABABxyxAyBABxy定义：设两个集合，，则与的卡氏积如下定义，记为，即且上述定义表明卡氏积是由序偶所组成的集合。然而卡氏积这个概念与不等式的关系不大，如果我们将不等式中的“不等”单独地提出来看，其实不等式中核心的部分是不等这个关系，因此我们需要“关系”这个数学概念。因此我们就用上面的所建立的卡氏积概念来定义，如下：1212.1,,ARABRBCAC定义7：设两个集合，B为，则把卡氏积AB的任意子集R称为A与B的元素之间的一个关系，如果A=B，则称为R为A上的关系。[4]根据定义，我们知道关系也是一个集合，那么“不等”这个关系也是一个集合，然而我们限定的不等只是在实数上比较，而不是那种更广义的“不等”。接下来我们将介绍关系的运算以及分类。先来给出运算的定义：定义7：设则由R和R合成之由到的复合关系被1212121212121{,|&&(&,&,)}()(&&){,,}{,,,,,}RRRRacaAcCbbBabRbcRRRACaAcCaRRcbbBaRbbRcAabcRabaccbR定义如下，并记为，即它表示，并对任意的和，举一个例子，当，则212211221123{,,,,,}{,,,,,}{,,,,,},,,abbccaAARRabaccbRRbbbccaRRRRRABRBCRCD都是上的二元关系，然而显然，，所以在一般情况下，关系的复合运算是不可交换的。对于关系这个特殊的集合，它的特殊运算性质如下：定理7.1：设则123123123412312132342434,,,RRRRRRRABRBCRBCRCDRRRRRRRRRRRRRR（）（）它的证明利用集合证明问题的两种普遍方法（利用集合运算规则，或者利用集合的定义）得到，它表示的是关系的运算满足结合律。定理7.2:设，则（1）（）（2）（）实际上我们看到关系对于并运算满足分配律。现在我们来对关系的运算进行说明，首先定义六个基本的二元关系的特性，依次为自反性，反自反性，对称性，反对称性，拟反对成性和可传性，然后而我们利用这些特性来对关系分类。关系的这些特性是从实际生活中抽象出来写成数学语言，现在就列在下面：8.1[],[](,).8.2[],[](,).8.3[],ARRrefRrefaaAaaRARRirrefRirrefaaAaaRARRsym定义：集合上的二元关系按如下方式而被定义为自反的，并记为即定义：集合上的二元关系按如下方式而被定义为反自反的，并记为即定义：集合上的二元关系按如下方式而被定义为对称性的，并记为即[](&&,,).8.4[],[](&&,&,).8.5[],[RsymabaAbAabRbaRARRasymRasymabaAbAabRbaRabARRimasymRi定义：集合上的二元关系按如下方式而被定义为反对称性的，并记为即定义：集合上的二元关系按如下方式而被定义为拟反对称性的，并记为即](&&,,).8.6[],[](&&&,&,,).masymabaAbAabRbaRARRtraRtraabcaAbAcAabRbcRacR定义：集合上的二元关系按如下方式而被定义为传递性的，并记为即上面所列举的特性对于“不等式”中的不等关系是成立的，由于等式与不等式相对应，先给出一个简单的关系——等价关系。][&][&][&1.9traRsymRrefRAARRRARRA，即并记为上之等价关系，被定义为满足下述条件，则上二元关系：如果集合定义我们现在能够理解“=”是等价关系，因为“=”满足自反性，对称性，传递性。那么，“不等”的性质在下面作出详细的介绍：，，，有，即，）反对称性，当；（，则，）自反性，因为（满足偏序的几个条件，。现在来验证，，记作，则，其中，若的定义：关系在面给出）来表示。下，，这里用（上偏序关系，不是全序上的整除关系正整数集合这一点：这里举几个例子来说明全序一定是偏序，—够得出这样的结论全序关系，显然我们能我们经常用表示）或者关系：上的全序被定义为如果满足下述条件，则上的偏序关系：非空集合定义概念：们定义一个称作全序的表示偏序关系。下面我我们经常用关系：上的偏序被定义为如果满足下述条件，则上的二元关系：非空集合定义nmnkmmnNnmNmnnnnnNnnmnmNkmknNnmNNNbabaAbAabaAARARAtraRasymRrefRAARARA||,,2|,11|||,|||&(&2.9][&][&][&2.9,1==1=,|,|,|||,,|,||nlmklNklklklnmmsnmmsmknslmsklnnsns有，，则，，故。（3）传递性，如果，即，，有，，则，即因此满足传递性。下面我们来举例子说明不是全序关系，3,7|，7,3|，不满足全序关系的定义。根据上面集合理论，我们经常使用的“不等”关系显然的是属于全序关系，现在我们给出一个称为严格全序关系的定义：9.3[][]9.4(&,,ARARAARimasymRtraAAAAabaAbAababba定义：非空集合上的二元关系，如果满足下述条件，则被定义为上的严格偏序：&&定义：非空集合上的严格偏序，如果满足下述条件，则被定义为上的严格全序：&&或)现在我们可以将不等式大致地分为两类，一类是用“”或“”表示的不等式，它显然的是属于严格全序关系；另一类是用“”或“”表示的不等式，它属于全序关系。因此我们就可以定义不等式了，即两个代数式满足全序关系。根据上面的介绍，可以得出不等式的基本性质。二不等式的基本性质;,,)2;)1cacbbababa则传递性：若对称性：上面两个性质是直接可以利用全序关系之直接得出，而我们特别的注意到全序关系的特殊性，因此我们有：.abbaab若，，则（）下面对于运算有另一些性质：。则乘正数保序性：若；则加法保序性：若bcaccbacbcaba,0,)4,)3我们可利用这四条性质导出更多的式子，例如下面一些：111),0,;2),,;3)0,0,;4)0,,,.nnnnabcacbcabcdacbdabcdacbdabnNabab若则若则若则若则我们列举两个例子来进行证明：从而结论成立。则得到矛盾。利用第一个结论得到如果因为就是要证明做一种转化，令对于另一个结论，我们依次类推可以得到于是，就有）得到结论，再利用基本性质），子）是正确的，由基本性）先要证明，得到结论。加上同理可以得到，两边再得到上）两边同时加再利用基本性质）得到，可以利用基本性质是明显，因为,,0,,,,,,2,,434,0,3,-4,0-)11122nnnnnnnndcdcdcdcbdacbababdbcbcacacacbcbcbcacc三不等式的分类在世界上，不等关系远远多于相等关系，而我们知道关系是可以进行分类的，下面我们介绍几重分类方式，以帮助学生进行更好的记忆及应用。我们知道，对关系进行分类，我们需要对集进行全面的了解，而不等式是如此之多，但我们很容易的得出一种分类方式，及利用全序与非全序得到两种不等式，根据它们自身的性质，其中区别是全序具有”关系不成立，对于“则即当baabba,,。然而这样的分类并没有怎样在学生学习有任何