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-1-关于三角形的“四心”与平面向量的结合[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正.一、基础知识复习1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、典型例题分析[例]已知点G是ABC内任意一点,点M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).-2-[提出问题](1)若存在常数,满足()(0)ABACMGMAABAC,则点G可能通过ABC的__________.(2)若点D是ABC的底边BC上的中点,满足GDGBGDGC,则点G可能通过ABC的__________.(3)若存在常数,满足()(0)sinsinABACMGMAABBACC,则点G可能通过ABC的__________.(4)若存在常数,满足()(0)coscosABACMGMAABBACC,则点G可能通过ABC的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记12,ABACeeABAC,则12()AGee.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)sinsin,ABBACC记sinsinABBACCh,则''()()AGABACh.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.-3-(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由()(0)coscosABACMGMAABBACC,得()(0)coscosABACAGABBACC,(关键点)()(0)coscosABACAGBCBCABBACC于是()(0)coscos)()0ABBCACBCAGBCABBACCBCBBCBBCBC（cos(-cos）=.从而AGBC,点G是高线上的点,故应填垂心.[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.三、综合运用[提出问题]若O点是ABC的外心,H点是ABC的垂心,且()OHmOAOBOC,求实数m的值.[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.[解答过程]由()OHmOAOBOC,得()OHOAmOAOBOCOA,于是(1)()HAmOAmOBOC,-4-(关键点)(1)()HABCmOABCmOBOCBC即(1)()()HABCmOABCmOBOCOCOB,由题意,知0HABC,及()()0OBOCOCOB,从而(1)0mOABC,其中0OABC,因此10,1mm即.[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为ABC内任意一点，若P点满足:1．(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，;2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且DPPBDPPCPABCEPPCEPPA为的外心;3.1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，;4.00APBCPABCBPAC为的垂心.