高中数学函数的图象及性质修改稿新人教A版必修1

1函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1.奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.（1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3xy在)1,1[上不是奇函数常用性质：1．0)(xf是既奇又偶函数；2．奇函数若在0x处有定义，则必有0)0(f；3．偶函数满足)()()(xfxfxf；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5．0)(xf除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(xf可以写成一个奇函数2)()()(xfxfx和一个偶函数2)()()(xfxfx的和。2.单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且①总有则称在区间M上单调递增②总有则称在区间M上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减23.周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期（自己证明）（2）若定义在R上的函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。（自己证明）（推论）若定义在R上的偶函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期（3）若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf是周期函数，2a是它的一个周期4．对称性一、函数自身的对称性定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。故点P（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得证。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理3函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)或f(x)=f(2a－x)定理4.若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。3二．不同函数对称性定理5.函数y=f(a+x)与y=f(b－x)的图像关于直线x=(b-a)/2成轴对称定理6.互为反函数的两个函数关于直线y=x对称【典型例题】[例1]判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数[例2]（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。答案：（1）4（恒等定理）∴时，奇函数（2）∴（恒等定理）∴∴巩固：已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；解析：（Ⅰ）简解：取特殊值法因为()fx是奇函数，所以(0)f=0，即111201()22xxbbfxaa又由f（1）=-f（-1）知111222.41aaa（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221xxxfx，易知()fx在(,)上为减函数又因()fx是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0fttftk等价于222(2)(2)(2)fttftkfkt，因()fx为减函数，由上式推得：2222ttkt．即对一切tR有：2320ttk，从而判别式14120.3kk[例3]求函数的解析式（1）为R上奇函数，时，，解：时，∴∴（2）为R上偶函数，时，5解：时，∴[例4]求下列函数的增区间（1）（2）答案：（1），∴（2）作图∴[例5]若在区间，求取值范围。答案：分类讨论（1）①当在区间，符合题意②当时，要在区间，则有∴[例6]，为偶函数，试比较的大小关系。解：∵为偶函数∴则函数关于直线x=2对称∵在（0，2）∴(提示：看离对称轴的远近)6[例7]为偶函数，，若，求取值范围。解：∴[例8]求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令∴∴∴T=2周期函数（2）∴T=4周期函数（3）∴T=4（4）∴T=8[例9]，偶函数，周期函数，T=2，，，则，求当时，。答案：[例10]，偶函数，奇函数，则。答案：奇偶∴∴∴奇∴巩固例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)7一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001故f(4)=2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_________解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)8【作业】1.两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列”。两位学生分别构造了一个函数（）：①②请你判断，正确的结论是（）A.①②都对B.①对②错C.①错②对D.①②都错2.函数与的图像关于（）A.y轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y轴对称且关于直线x=1对称3.若函数在（）上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.4.函数在（）上存在，使，则的取值范围是（）A.B.C.或D.5.若，则它们的大小关系为（）A.B.C.D.6.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是（）7.函数（）A.在（1，）内单调递增B.在（1，）内单调递减C.在（）内单调递增D.在（）内单调递减98.函数的定义域为[]，值域为，其反函数为，则的（）A.定义域为，值域为B.定义域为，值域为C.定义域为，值域为D.定义域为，值域为9.已知函数的图象是由函数的图像平移而得到的，如图所示，则的值是（）A.B.C.D.10.已知是偶函数，则图像的对称轴是（）A.B.C.D.11.对任意，有，时，，则（）A.B.C.D.12.方程的两个根均大于1，则的取值范围为（）A.B.C.D.13.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A.B.C.D.14.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）10A.B.C.D.15.设函数的反函数为，且，则。16.函数的定义域是。17.已知函数在上有定义，，当且仅当时，且对任意都有，试证明：（1）为奇函数；（2）（）上单调递减。18.设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）证明：在（0，+∞）上是增函数。19.设)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足)()2(xfxf，当]2,0[x时22)(xxxf⑴求证：)(xf是周期函数；⑵当]4,2[x时，求)(xf的解析式；⑶计算：)0(f)1(f)2(f)2005(f11一、函数的单调性1．单调性的证明———定义法：例判断函数)()(3Rxxxf的单调性，并用定义证明。练习：已知函数)05(251)(2xaxxf，点)4,2(在)(xf的反函数图像上。（1）求)(xf的反函数)(1xf；（2）证明)(1xf在定义域内是减函数2．单调性的简单应用：例1（1）函数)26(log21.0xxy的单调增区间是________（2）已知log(2)ayax在[0,1]是减函数，则a的取值范围是_________练习：若函数)3(log)(2kxxxfk在区间2,k上是减函数，则实数k的取值范围是____________________高考真题：已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）12（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)7例2已知函数)(xfy的图象与函数xay（0a且1a）的图象关于直线xy对称，记]1)2()()[()(fxfxfxg．若)(xgy在区间]2,21[上是增函