高中数学单元综合第二章数列(人教A版必修5)

学习知识放飞心灵第二章数列单元综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．数列{2n＋1}的第40项a40等于()A．9B．10C．40D．41解析：a40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n}中，公差d等于()A．2B．3C．－1D．－3解析：设an＝2－3n，则an＋1－an＝[2－3(n＋1)]－(2－3n)＝－3.答案：D3．数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于()A．10B．210C．210－2D．211－2解析：∴数列{an}是公比为2的等比数列且a1＝2.答案：D4．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a7＝5，S7＝21，那么S10等于()A．55B．40C．35D．70学习知识放飞心灵解析：设公差为d，则a1＋6d＝5，7a1＋21d＝21，解得d＝23，a1＝1，则S10＝10a1＋45d＝40.答案：B5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()A．7B．8C．15D．16解析：设公比为q，由于4a1,2a2，a3成等差数列，则4a2＝4a1＋a3，所以4q＝4＋q2，解得q＝2.所以S4＝a11－q41－q＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3＋a17＝10，则S19的值是()A．55B．95C．100D．不确定解析：a3＋a17＝a1＋a19，∴S19＝19a1＋a192＝192×10＝95.答案：B7．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝()A．120B．105C．90D．75解析：{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，即3a2＝15，则a2＝5.又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，∴d＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于()A．22B．21C．19D．18学习知识放飞心灵解析：设该数列有n项，且首项为a1，末项为an,公差为d.则依题意有5a1＋10d＝34，①5an－10d＝146，②a1＋an2·n＝234，③①＋②可得a1＋an＝36.代入③得n＝13.从而有a1＋a13＝36.又所求项a7恰为该数列的中间项，∴a7＝a1＋a132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a，b，c成等差数列，又a，c，b成等比数列，则ab等于()A．－2B．2C．－4D．4解析：∵2b＝a＋c，∴c＝2b－a.∵c2＝ab，∴a2－5ab＋4b2＝0，∴a＝b(舍去)或a＝4b，∴ab＝4.答案：D10．已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：设公比为q，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10m，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上()A．7B．6C．5D．4解析：学习知识放飞心灵所示，设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗共走路程为10(x－1)m，然后回到第二面旗处再到第x面处的路程是20(x－2)m，…，从第x－1面到第x面来回共20m，从第x面处到第x＋1面处路程为20m，从第x面到第x＋2面处的路程为20×2m，….总共的路程为s＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x)＝10(x－1)＋20·x－2x－12＋20·13－x14－x2＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20(x－294)2＋31154.∵x∈N*，∴当x＝7时，s有最小值为780m，即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短．答案：A12．若数列{an}是等差数列，首项a10，a2007＋a20080，a2007·a20080，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A．4013B．4014C．4015D．4016解析：由已知a10，a2007·a20080，可得数列{an}为递减数列，即d0，a20070，a20080.利用等差数列的性质及前n项和公式可得所以使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4014，选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n1时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.学习知识放飞心灵＝1时，2n－3≠a1，所以有an＝1，n＝1，2n－3，n1.答案：an＝1，n＝1，2n－3，n114．设{an}为公比q1的等比数列，若a2006和a2007是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2008＋a2009＝________.解析：方程4x2－8x＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则a1d等于________．解析：∵S12＝12a1＋66d，S4＝4a1＋6d，又S12＝8S4，∴12a1＋66d＝32a1＋48d.∴20a1＝18d，∴a1d＝1820＝910.答案：91016．用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{xn}的通项公式为xn＝[n5](n∈N*)，则x1＋x2＋…＋x5n＝________.解析：x5n＝[5n5]＝[n]＝n，则x1＋x2＋…＋x5n＝5[x5＋x10＋x15＋…＋x5(n－1)]＋x5n＝5(1＋2＋…＋n－1)＋n＝52n2－32n.答案：52n2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a，aq.学习知识放飞心灵由题意，得a3＝512，aq－2＋aq－2＝2a，解得a＝8，q＝2或a＝8，q＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)，a≠0.解：原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)＝(a＋a2＋…＋an)－nn＋12＝a1－an1－a－nn＋12a≠1，n－n22a＝1.19．(本小题12分)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，a5＝18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋12bn＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列．解：(1)设{an}的公差为d，∴a1＋d＝6，a1＋4d＝18，解得a1＝2，d＝4.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2.(2)证明：当n＝1时，b1＝T1，由T1＋12b1＝1，得b1＝23.当n≥2时，∵Tn＝1－12bn，Tn－1＝1－12bn－1，∴Tn－Tn－1＝12(bn－1－bn)．∴bn＝12(bn－1－bn)．∴bn＝13bn－1.∴{bn}是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n年后该市每年所建中低价房的面积为an，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n.学习知识放飞心灵＋225n＝4750，即n2＋9n－190＝0，解得n＝－19或n＝10.又n是正整数，∴n＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米．21．(本小题12分)设a1＝1，a2＝53，an＋2＝53an＋1－23an(n∈N*)．(1)令bn＝an＋1－an(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.解：(1)因为bn＋1＝an＋2－an＋1＝53an＋1－23an－an＋1＝23(an＋1－an)＝23bn，所以数列{bn}是首项为b1＝a2－a1＝23，公比为23的等比数列，所以bn＝(23)n(n＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn－S2n＝1(n≥2)．(1)证明数列{1Sn}成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－491时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n≥2时，2bnbnSn－S2n＝1，又因为Sn＝b1＋b2＋…＋bn，学习知识放飞心灵＝b1＝a1＝1，所以数列{1Sn}是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1Sn＝1＋12(n－1)＝n＋12，即Sn＝2n＋1.所以当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝－2nn＋1.因此bn＝1，n＝1，－2nn＋1，n≥2.(2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项．故a81在表中第13行第三列，因此a81＝b13·q2＝－491.又b13＝－213×14，所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，即S＝bk1－qk1－q＝－2kk＋1·1－2k1－2＝2kk＋1(1－2k)(k≥3)．