高中数学同步专题-空间点线线线线面的位置关系

高中数学陈老师1高中数学复习------空间点线·线线·线平面的位置关系一知识要点1点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A.◆公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）直线l在平面α内，记作lα。用符号语言表示公理1：,,,AlBlABl◆公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论;两条平行直线确定一个平面。◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。符号语言：,PABABlPl◆·过空间三点可确定平面；过两平行线可确定平面；过一条直线和直线外一点可确定平面.2.异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线.3.异面直线所成的角（或夹角）：过空间任意一点作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角。当异面直线所成的角为直角时称这两条异面直线互相垂直。4.空间两条直线的位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角相等。等角定理的推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。5直线和平面平行定义：直线和平面没有公共点。6直线和平面的位置关系：直线在平面内相交平行；三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa∥α（后两个统称为aα）二典例分析题型一线共面问题例1求证：两两平行的三条直线如果都与第四条直线相交，那么这四条直线共面练习1求证：两两相交且不共点的四条直线共面题型二点与线问题例2（1）空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么四点中（）A、必有三点共线B、必有三点不共线C、至少三点共线D、不可能有三点共线(2)下面给出四个条件：①空间三个点；②两两相交的三条直线；③一条直线和一个点；④和同一条直线相交的两条直线。其中能确定一个平面的条件有个。（3）若P是平面外一点，则下列命题正确的是（）（A）过P只能作一条直线与平面相交（B）过P可作无数条直线与平面垂直（C）过P只能作一条直线与平面平行（D）过P可作无数条直线与平面平行高中数学陈老师2（4)O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1.B1.A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.题型三空间直线的位置关系线问题例3（1）直线,abc，及平面，，使//ab成立的条件是（）A．//,abB．//,//abC．//,//acbcD．//,ab（2)有下列命题①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行其中假命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1题型四等角定理的运用例4已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点（1）求证：E,F,G,H四点共圆（2）若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD练习(1)已知正方形ABCDA1B1C1D1点E,E1，F分别是棱AD，A1D1,BC的中点，求证:（1）E1C1平行且等于AF(2)∠BEC=∠B1E1C1题型五求异面直线所成的角例5已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求异面直线DE与AB所成角的余弦值；图2.3高中数学陈老师3DCABB1A1C1练习已知三棱锥A-BCD的各条棱都相等，M,N分别是BC,AD的中点。求异面直线MN与BD所成的角题型六空间直线与平面的位置关系问题例5（1）E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是（）A．0B．1C．2D．3（2）若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交（3）如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是①②③④（4）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点。求证：（1）MN//B1D1；（2）AC1//平面EB1D1；（3）平面EB1D1//平面BDG.练习（1）在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是(3)如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点.求证：//1CB平面BDA1.高中数学陈老师4课后巩固1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是()A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()．A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线3．(2011·浙江)下列命题中错误的是()．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()．A．12对B．24对C．36对D．48对5、（2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面6、过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()．A．1条B．2条C．3条D．4条7、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．8、正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．高中数学陈老师5