高中数学向量法解立体几何总结

向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为(,,)nxyz．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)aaaabbbb．④根据法向量定义建立方程组00nanb.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明1l∥2l，只需证明a∥b，即()akbkR.⑵线面平行。设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只需证明au，即0au.⑶面面平行。若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明12ll，只需证明ab，即0ab.⑵线面垂直①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a∥u，即au.②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若0,.0amlan则⑶面面垂直。若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证0uv.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知,ab为两异面直线，A，C与B，D分别是,ab上的任意两点，,ab所成的角为，则cos.ACBDACBD⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：coss.inauau⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角.如图：求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为mn、，再设mn、的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为mn、的夹角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则coscosmnmn，即arccosmnmn；OABOABl如果是钝角，则coscosmnmn，即arccosmnmn.5、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为221(||||)()||hababa⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.即cos,dMPnMPnMPMPnMPnMPn⑶直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即.nMPdn⑷两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.nMPdn⑸异面直线间的距离设向量n与两异面直线,ab都垂直，,,MaPb则两异面直线,ab间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。即.nMPdn