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-1-回归直线方程的推导设x与y是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是：112233(,),(,),(,),,(,)nnxyxyxyxy，下面给出回归方程的推导。设所求的回归方程为ˆybxa，其中,ab是待确定的参数，那么：ˆiiybxa，（1,2,3,,in），样本中各个点的偏差是ˆ()iiiiyyybxa，（1,2,3,,in）显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，，因此他们的和不能代表n个点与回归直线在整体上的接近程度，而是采用n个偏差的平方和Q来表示n个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度。即2211ˆ()()nniiiiiiQyyybxa＝2222112233()()()()nnybxaybxaybxaybxa求出当Q取最小值时的,ab的值，就求出了回归方程。（一）先证明两个在变形中用到的公式：公式（1）22211()nniiiixxxnx其中12nxxxxn因为2222121()()()()ninixxxxxxxx＝22221212()2nnxxxxxxnxnxn＝222212()2nxxxnxnx＝22212()nxxxnx＝221niixnx所以22211()nniiiixxxnx公式（２）11()()nniiiiiixxyyxynxy因为11221()()()()()()()()niinnixxyyxxyyxxyyxxyy＝11221122()()nnnnxyxyxyxyyxxyyxxyyxnxy＝12121[()()]niinnixyxxxyyyyxnxy-2-＝12121()()[]nnniiixxxyyyxynyxnxynn＝12niiixynxynxy＝1niiixynxy所以11()()nniiiiiixxyyxynxy（二）推导：将Q的表达式的各项先展开，再合并、变形2222112233()()()()nnQybxaybxaybxaybxa22212112222212()[2()2()2()][()()()]nnnnyyyybxaybxaybxabxabxabxa-----展开222211111222nnnnniiiiiiiiiiiybxyaybxabxna-----以a，b为同类项，合并2222111112()2nniinnniiiiiiiiiyxnanabbxbxyynn--以a，b的次数为标准整理22221112()2nnniiiiiiinanaybxbxbxyy--将数据转化为平均数,xy22222111[()]()2nnniiiiiiinaybxnybxbxbxyy---配方法2222222111[()]22nnniiiiiiinaybxnynbxynbxbxbxyy---展开222222111[()]()2()()nnniiiiiiinaybxbxnxbxynxyyny---整理2222111[()]()2()()()nnniiiiiiinaybxbxxbxxyyyy-----用公式（一）、（二）变形222212111()()[()]()[2]()()niinniiiniiiixxyynaybxxxbbyyxx---配方-3-2222211221111()()[()()][()]()[]()()()nniiiinniiiinniiiiiixxyyxxyynaybxxxbyyxxxx在上式中，共有四项，后两项与a，b无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得Q区的最小值，当且仅当前两项的值都为0。所以121()()()niiiniiaybxxxyybxx或121niiiniiaybxxynxybxnx------用公式（一）、（二）变形得（三）总结规律：上述推倒过程是围绕着待定参数a，b进行的，只含有,iixy的部分是常数或系数，用到的方法有（1）配方法，有两次配方，分别是a的二次三项式和b的二次三项式；（2）变形时，用到公式（一）、（二）和整体思想；（3）用平方的非负性求最小值。(4)实际计算时，通常是分步计算：先求出,xy，再分别计算1()()niiixxyy，21()niixx或1niiixynxy，21niixnx的值，最后就可以计算出a，b的值。小练习：(1)验证当样本数据只有两个点时的回归方程；(2)当样本数据有三个点，是（11,xy），（22,xy），（33,xy）时，试推导回归方程。