高中数学圆的方程

9.3圆的方程一、填空题1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝2.答案22．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析AB的中点坐标为(0,0)，AB＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝23．若圆心在x轴上、半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．解析设圆心为(a,0)(a＜0)．因为直线x＋2y＝0与圆相切，所以|a＋2×0|12＋22＝5，即|a|5＝5，解得a＝－5.所以圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.答案(x＋5)2＋y2＝54．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋b－2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案x2＋(y－2)2＝15．已知圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为______________．解析设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有－2＋－2－2＝r2，－1－2＋－2＝r2，|a|2＋32＝r2⇒a＝1，b＝0，r2＝13或a＝5，b＝4，r2＝37，由此可写出所求圆的方程．答案(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝376．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是________．解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案(4,6)7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4y0＝2y＋2，因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝18.直线x-2y+5=0与圆228xy相交于A、B两点,则|AB|=.解析圆心为(0,0),半径为22圆心到直线x-2y+5=0的距离为2200551(2)d故222()(5)(22)2AB得|AB|23.答案239．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．解析线段AB的中垂线方程为2x－y－4＝0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为CB＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝1010．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．解析lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝|3|2＝32，∴AB边上的高的最小值为32－1.∴Smin＝12×(22)×32－1＝3－2.答案3－211．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且AB＝6，则圆C的方程为________．解析抛物线y2＝4x，焦点为F(1,0)．∴圆心C(0,1)，C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝55＝1，且圆的半径r满足r2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.答案x2＋(y－1)2＝1012．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．解析l是线段PP′的垂直平分线，其方程为y－a＋b－12＝x－a＋b＋12，即x－y－1＝0，设圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝10关于直线l对称的圆C′的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则点(3,1)与(a，b)关于直线l对称，于是由b－1a－3＝－1，a＋32－b＋12－1＝0，解得a＝2，b＝2.所以圆C′：(x－2)2＋(y－2)2＝10.答案(x－2)2＋(y－2)2＝1013．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|x－x02＋y－y02＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2＞0}；③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0＜x2＋(y－2)2＜1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)解析集合{(x，y)|x－x02＋y－y02＜r}表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案②④二、解答题14.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为27求圆C的方程.解析设圆心为(3t,t),半径为r=|3t|,令32ttd|2t而22222(7)9271rdttt∴22(3)(1)9xy或22(3)(1)9xy15．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．思路分析(1)yx可看成原点(0,0)与点(x，y)连线的斜率；(2)y－x的最值可转化成直线y－x＝b在y轴上的截距的最值问题，利用数形结合解得．解析(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.【点评】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(2)研究图形的形状、位置关系、性质等．16．已知一等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，求另一底角顶点C(x，y)的轨迹．解析由AB＝AC，得：x－2＋y－2＝－2＋－2，整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)，故底角顶点C的轨迹是以点(3,35)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)．17．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．解析法一设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为|a－b|2，∴r2＝|a－b|22＋(7)2，即2r2＝(a－b)2＋14，①由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.法二设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.又圆心－D2，－E2到直线x－y＝0的距离为－D2＋E22.由已知，得－D2＋E222＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圆心－D2，－E2在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.18．已知圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且CP的斜率为－1.(1)试求圆C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1交圆C于E，F两点，l2交圆C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．解析(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则C点的坐标为－D2，－E2，且PC的斜率为－1，所以－E2－0－D2－m＝－1.①因为圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以1＋E＋F＝0，②4＋2D＋F＝0，③m2＋Dm＋F＝0.④联立①②③④，解得D＝1，E＝5，F＝－6，m＝－3.所以圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0即x＋122＋y＋522＝252.(2)圆心C的坐标为－12，－52，圆心到l1，l2的距离设为d1，d2，则d21＋d22＝OC2＝132，又EF22＋d21＝252，GH22＋d22＝252，两式相加，得EF2＋GH2＝74≥2EF·GH.所以S＝12EF·GH≤372，即(S四边形EGFH)max＝372.