高中数学培优材料1平面几何(梅涅劳斯定理)

国光中学数学培优系列讲座——竞赛二试系列讲座国光中学数学组黄晓琳邮箱：[e-mail]手机：[phone]QQ：359849063高中数学培优讲座第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在。同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300分中的50分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”。除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.（一）梅涅劳斯定理1．背景：Menelaus定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.2．定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F三点，则：1EACEDCBDFBAF.3．说明：（1）不过顶点的直线与三角形3边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式.（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.4．记忆：1ACCBBA点分点到点到分点点分点到点到分点点分点到点到分点.5．证明：（在老师的讲解下，用铅笔作出辅助线）（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A作BCAG//交DF延长线于G，∵BCAG//，∴BDAGFBAF，AGCDEACE，∴1CDBDAGCDBDAGCDBDEACEFBAF，∴1EACEDCBDFBAF.（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A、B、C作'AA、'BB、'CC垂直已知直线，由直角三角形相似比，易知''BBAAFBAF、''CCBBDCBD、''AACCEACE，∴1''''''AACCCCBBBBAAEACEDCBDFBAF.（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）.6．推广：（1）逆定理：（常用于证明三点共线）如果有三点D、E、F分别在三角形ABC的三边或其延长线，且满足：1EACEDCBDFBAF，则三点D、E、F在同一直线上.（2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F三点，则三点DEF共线等价于1sinsinsinsinsinsinFCBACFEBACBEDACBAD.7．定理的应用：例题1：已知过ABC顶点C的直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：FBAFEDAE2.证明：直线CEF截ABD，由梅涅劳斯定理，得：1EADECDBCFBAF，又CDBC2，∴21EADEFBAF，则FBAFEDAE2.[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC中，AG是角平分线，D是BC中点，DG⊥AG交AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF=)(21ACAB．DEFABCFEDCBAEDABCFGFEDABC国光中学数学培优系列讲座——竞赛二试系列讲座国光中学数学组黄晓琳邮箱：[e-mail]手机：[phone]QQ：359849063例题2：已知过ABC重心G的直线分别交边AB、AC及CB延长线于点E、F、D，求证：1FACFEABE.证明：连接AG并延长交BC于M，则CMBM，∵DEG截ABM，∴由梅氏定理得，1DBMDGMAGEABE；同理：1DCMDGMAGFACF∴MDDBAGGMEABE，MDDCAGGMFACF，∴11221)(MDDCDBAGGMMDAGDCDBGMFACFEABE，即1FACFEABE.变式练习２：（塞瓦（Ceva）定理）在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，求证：1EACEDCBDFBAF．8．逆定理的应用（证明三点共线）：例题1：若ABC的A的外角平分线交边BC延长线于P，B的平分线交边AC于Q，C的平分线交边AB于R，则P、Q、R三点共线.证明：由三角形内、外角平分线定理知：CABAPCBP，ABBCQACQ，CBCARBAR，则1ABBCCABACBCAQACQPCBPRBAR，故P、Q、R三点共线.变式练习１：（帕斯卡（Pascal）定理）圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）例题2：（莱莫恩（Lemoine）定理）过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线.证明：∵CR是⊙O的切线，∴RAC∽RCB，∴CBACRBRCRCRA，则2)(CBACRBRCRCRARBRA，同理：2)(ACABCPBP，2)(BABCQACQ∴1)()()(222ABBCCABACBCAQACQPCBPRBAR，故P、Q、R三点共线.变式练习2：（西姆松（Simson）定理）若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线）.FPQRCBAQRPOCBADFGMABCE