高中数学基本知识基本思想基本方法(学生版)

严中06级高三复习用资料第1页共20页高中数学基本知识·基本思想·基本方法一、集合与简易逻辑1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其是等价命题，逆命题与其是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若BA，则A是B的条件或B是A的条件；若A=B，则A是B的条件；（3）等价法：即利用等价关系ABBA判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n个元素的集合的子集个数为,真子集（或非空子集）个数为；（2）;BBAABABA（3）;)(,)(BCACBACBCACBACIIIIII二、函数:研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）；（2）复合函数的单调性由“同异”判定；2.函数的奇偶性（1）若f(x)是，那么f(x)=f(－x)=)(xf;（2）定义域含0的奇函数必过（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=或)()(xfxf（f(x)≠0）;(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有的单调性；偶函数在对称的单调区间内有严中06级高三复习用资料第2页共20页的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线对称；（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线对称；4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a0)恒成立,则y=f(x)是周期为的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=)(1xf，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；6.a≥f(x)恒成立;a≤f(x)恒成立;a≥f(x)有解;a≤f(x)有解;7.（1）naabbnloglog(a0,a≠1,b0,n∈R+);(2)logaN=aNbbloglog(a0,a≠1,b0,b≠1);(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;（a,b同在（0，1）或（1，＋）上logab的符号为正）(4)alogaN=N(a0,a≠1,N0);8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；严中06级高三复习用资料第3页共20页10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的必有反函数；（2）奇函数的反函数是；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有的单调性；(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-1(x)]=x(x∈),f-1[f(x)]=x(x∈).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：)0f(b)0f(a)(0f(b)0f(a)b)u(a0(0)()()(或）或xhuxguf；14.掌握函数)0();0(cxcxyacbcxacbacxbaxy的图象和性质；函数cxacbacxbaxy(b–ac≠0,a0,c0)0(axaxy）图象定义域),(),(cc),0()0,(值域),(),(aa),2[]2,(aa奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b-ac0时:分别在),(),,(cc上单调递减；当b-ac0时:分别在),(),,(cc上单调递增；在),[],,(aa上单调递增；在],0(),0,[aa上单调递增；XooyxX=-cY=ay严中06级高三复习用资料第4页共20页三、数列1.由Sn求an，an={),2()1(*Nnnn注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；2.等差数列*),2(2(111Nnnaaaddaaannnnnn为常数）｝｛BnAnsbanann2；3.等比数列;qaaN)n2,(naaa}a1-n1n1n1-n2nn｛4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式000011nnnnaaaa或解决；5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；6.等差数列中,am=an+d,nmaadnm;等比数列中，an=amq;q=mnmnaa;7.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N＊）时，对等差数列｛an｝有：；对等比数列｛an｝有：；8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b、a是非零常数)是数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}是数列；9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；10.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶—S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈N*）；11.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11kbakkbann(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；四、三角函数1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正弦型函数)sin(xAy的对称轴为；对称中心严中06级高三复习用资料第5页共20页为；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；6.（1）正弦平方差公式：sin2A－sin2B=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径r=cbaSABC2；（3）三角形的外接圆直径2R=五、平面向量1.平面向量数量积的坐标表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=;AB;（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,22yxa;2.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0);（2）坐标式：a∥b(b≠0);3.两个向量垂直的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),（1）向量式：a⊥b(b≠0);（2）坐标式：a⊥b;4.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=cosba=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的与b在a的方向上的投影()的乘积；5.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝122121yxyx；六、不等式1.掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法；3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥ab2(a0,b0)时要符合“”；注意均值不等式的一些变形，如2222)2(;)2(2baabbaba；七、直线和圆的方程1.设三角形的三个顶点是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则⊿ABC的重心G为（,）；2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是；3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件：A=C≠0,B=0且；5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：;6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式，写出目标函数；（2）作出可行域；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；严中06级高三复习用资料第6页共20页八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆12222byax（ab0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则,21PFPF（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线12222byax（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，,21PFPF；（2）当P点在左支上时，,21PFPF；（e为离心率）；另：双曲线12222byax（a0,b0）的渐进线方程为2222byax；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则PF；y2=2px(p＜0＝上任意一点，F为焦点，则PF；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线xaby的双曲线标准方程为；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长AB或A