高中数学备课精选3.2《均值不等式》教案新人教B版必修5

-1-【中学数学教案】3.2均值不等式教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：abba2：ab,bcac(或cb,baca)(传递性)3：aba+cb+c(或aba+cb+c)(1)：a+bcac-b(移项法则)(2)：ab,cda+cb+d4、若ab,且c0，那么acbc；若ab,且c0，那么acbc.(1)、若ab0,且cd0，则acbd(2)、若ab0,则anbn(n∈N,且n1)(3)、若ab0,则nnba(n∈N,且n1)-2-2、定理变式：如果a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）3、均值定理：如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba证明：∵,2)()(22abbaabba2，即abba2显然，当且仅当abbaba2,时说明：ⅰ）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数奎屯王新敞新疆ⅱ）abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数奎屯王新敞新疆ⅲ）“当且仅当”的含义是等价奎屯王新敞新疆3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”奎屯王新敞新疆以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b奎屯王新敞新疆过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么CBCACD2，即abCD这个圆的半径为2ba，显然，它不小于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立奎屯王新敞新疆应用例题：例1、已知a、b、c∈R，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。例2、若Rcba,,，则cbaaccbba222本题若用求差法证明，计算量较大，难以获得成功，注意到a,b,c∈R＋，从结论的特点出发，均值不等式，问题是不难获证的。-3-例3、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222证明：∵abba222222bcbccaac222以上三式相加：cabcabcba222)(2222∴cabcabcba222例4、已知a,b,c,d都是正数，求证：abcdbdaccdab4))((分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识奎屯王新敞新疆证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0奎屯王新敞新疆得0,2abcdabcd0.2acbdacbd由不等式的性质定理4的推论1，得()().4abcdacbdabcd即abcdbdaccdab4))((归纳小结定理：如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba2、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。