高三数学一轮(北师大版)课件第4章第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第五节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形考纲要求命题分析1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A、ω、φ对图像变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换以及根据图像确定A，ω，φ的问题是高考的热点，主要考查识图、用图能力，同时也考查三角变换问题．从题型来看，选择题、填空题主要考查“五点法作图”及图像变换的问题．解答题主要结合三角恒等变换，考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用，试题难度不大，属于中低档题．预测2016年高考小题仍以考查y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换及根据图像确定A、ω、φ为主，解答题以三角变换为基础，研究其图像性质，化简的目标函数是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)AT＝__f＝1T＝____ωx＋φφ2πωω2π走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x____π2－φω____32π－φω____ωx＋φ0____π____2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ－φω2π－φωπ23π2走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3.函数y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图像的步骤|φ|1ω1ω|φω|AA走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在区间[0,2π]的图像如下：那么ω＝()A．1B．2C．12D．13[答案]B[解析]由图像可知，函数周期T＝π，ω＝2πT＝2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．(2014·四川高考)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点()A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度[答案]A走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]∵y＝sin(2x＋1)＝sin2(x＋12)，∴需要把y＝sin2x图像上所有的点向左平移12个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图像．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3．设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A．13B．3C．6D．9[答案]C[解析]由题意可知，nT＝π3(n∈N*)，∴n·2πω＝π3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω0，|φ|π2)的相邻两条对称轴之间的距离为π2，f(0)＝3，则()A．ω＝12，φ＝π6B．ω＝12，φ＝π3C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝π3[答案]D[解析]由题意得ω＝2πT＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f(0)＝3，即2sinφ＝3，∴sinφ＝32.∵|φ|π2，∴φ＝π3，故选D．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形5．图中的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(A0，ω0，|φ|π2)，则ω＝________，φ＝________.[答案]2π3[解析]由题意可得34T＝56π－π12＝34π，∴T＝π，故ω＝2πT＝2.当x＝π12时，y取最大值，则sin(2×π12＋φ)＝1，即sin(π6＋φ)＝1，又|φ|π2，∴φ＝π2－π6＝π3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形6．(文)(2014·山东高考)函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________．[答案]π[解析]此题考查降幂公式，辅助角公式，最小正周期的计算公式．y＝32sin2x＋1＋cos2x2＝sin(2x＋π6)＋12.故T＝2π2＝π.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)(2014·安徽高考)若将函数f(x)＝sin(2x＋π4)的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．[答案]38π[解析]本题考查正弦函数的对称轴的求法．sin[2(x－φ)＋π4]＝sin(2x＋π4－2φ)π4－2φ＝kπ＋π2，∴φ＝－π8－kπ2(k∈Z)，取k＝－1，φmin＝38π.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像画法与变换(1)(2015·广东六校教研协作体二联)已知f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω0)的图像与y＝－1的图像的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图像，只需把y＝cos2x的图像()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移5π12个单位D．向右平移5π12个单位走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)已知函数y＝2sin(2x＋π3)，①求它的振幅、周期、初相；②用“五点法”作出它在一个周期内的图像；③说明y＝2sin(2x＋π3)的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到．[思路分析](1)首先求出ω的值，注意图像变换时x的系数．(2)①由振幅、周期、初相的定义即可解决．②五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．③只要看清由谁变换得到谁即可．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答](1)B依题意T＝π，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π3)，∴只需y＝cos2x＝sin(2x＋π2)＝sin2(x＋π4)错误！f(x)＝sin(2x＋π3)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)①y＝2sin(2x＋π3)的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.②令X＝2x＋π3，则y＝2sin(2x＋π3)＝2sinX.列表，并描点画出图像：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin(2x＋π3)020－20走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形③把y＝sinx的图像上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sin(x＋π3)的图像，再把y＝sin(x＋π3)的图像上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋π3)的图像，最后把y＝sin(2x＋π3)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋π3)的图像．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]1.用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝2πω；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点．2．图像变换法．(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1ω倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2015·合肥模拟)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0，－π2φ0)的最小正周期为π，且f(π4)＝32.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像．[解析](1)周期T＝2πω＝π，∴ω＝2，∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，－π2φ0，∴φ＝－π3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)f(x)＝cos2x－π3，列表如下：2x－π3－π30π2π32π53πx0π6512π23π1112ππf(x)1210－1012走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形图像如图：走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω0，|φ|π2)的图像的一部分如图所示：(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[思路分析](1)函数的最大值为3，最小值为－1，周期T＝π，从而A，b，ω可求，再代入(π6，3)，可求φ值．(2)根据y＝sinx的对称轴方程得到所求的对称轴方程．[规范解答](1)由图像可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1，则A＝3－－12＝2，b＝3－12＝1.又T＝2(23π－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形将x＝π6，y＝3代入上式，得sin(π3＋φ)＝1，∴π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又∵|φ|π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)由2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)得x＝π6＋12kπ，k∈Z，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1的对称轴方程为：x＝π6＋12kπ，k∈Z.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]在确定φ值时，也可用五点法确定，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－φω，0)作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第