高三数学专题复习 4-4参数方程与极坐标(例题习题答案强烈推荐)

高考专题讲座—《极坐标与参数方程》一.1.[2014·衡阳模拟]已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．2.[2014·重庆卷]已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．★3.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4二.4.[2014·陕西卷]C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ－π6＝1的距离是________．5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝3sinα(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点的个数为________．★6.[2014·湖南长郡中学月考]在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝42cosθ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C2的参数方程为x＝－1＋acosθ，y＝－1＋asinθ(a＞0，θ为参数)．若圆C1与圆C2外切，则实数a＝____________．7.[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：x＝2＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．三.8.[2014·福建卷]已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．9.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为(2，π4)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα.(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．10.(2013·福建泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2－t，y＝3t(t为参数)，P，Q分别为直线l与x轴，y轴的交点，线段PQ的中点为M.(1)求直线l的直角坐标方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标和直线OM的极坐标方程．★11.[2014·辽宁卷]选修4­4：坐标系与参数方程将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．12.[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．四.13.(2013·海南省模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t.(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.14.直线x＝1－2t，y＝2＋2t.(t为参数)上到点A(1,2)的距离为42的点P的坐标为________．★15.(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(－1，2)，方向向量为n＝(－1，3)的直线，圆C的方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)求直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．16.已知直线l经过点P(12，1)，倾斜角α＝π6，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．五.★17.[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修4­4：坐标系与参数方程已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．18.过点P(102，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x2＋2y2＝1交于点M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．19.(2013·长春市二调)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．20.已知P是曲线C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0上任一点，Q是直线l：x＝－3＋2t，y＝2＋t.(t为参数)上任一点，则|PQ|的最小值为________．21.(2013·银川一中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cosθ－sinθ)＝6.(1)将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线C2.试写出曲线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．22.已知圆M：x＝1＋cosθ，y＝sinθ.(θ为参数)的圆心F是抛物线E：x＝2pt2，y＝2pt.的焦点，过F的直线交抛物线于A、B两点，求|AF|·|FB|的取值范围．极坐标与参数方程一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的______，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的____，记为。有序数对),(叫做点M的_________，记为),(M.极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:6.特殊曲线的极坐标方程：（1）直线过极点（在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线.（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过(,)2Mb且平行于极轴（4）当圆心位于极点，r为半径（5）当圆心位于)0,(aC(a0),a为半径（6）当圆心位于)2,(aC)0(a，a为半径二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2．曲线的参数方程（1）圆222)()(rbyax的参数方程可表示为_____________________.（2）椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为________________________.（3）抛物线pxy22的参数方程可表示为_________________.（4）经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为____________________.这时，参数t的几何意义是以直线l上点M(x0，y0)为起点，任意一点N(x，y)为终点的有向线段MN→的数量MN且|t|＝____________一.1..x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)[解析]由曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，可得其普通方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．2.5[解析]由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，联立直线l与曲线C的方程，解得x＝1，y＝2，所以直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝（1－0）2＋（2－0）2＝5.3.)A[解析]依题意，方程y＝1－x的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，整理得ρ＝1cosθ＋sinθ.因为0≤x≤1，所以0≤y≤1，结合图形可知，0≤θ≤π2.二.4.[解析]C．点2，π6的极坐标可化为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即点2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsinθ－π6＝ρsinθcosπ6－ρcosθsinπ6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝3sinα(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点的个数为________．6.[解析]依题意，ρ＝42cosθ－π4＝4cosθ＋4sinθ，化成普通方程为x2＋y2＝4x＋4y，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，即该圆的圆心为C1(2，2)，半径r1＝22.将x＝－1＋acosθ，y＝－1＋asinθ(a0，θ为参数)化成普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，即圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝a.由丙点间两圆外切可得|C1C2|＝32