高三数学周练3

1(第3题图)频率组距时速(km/h)8070605040300.0390.0280.0180.0100.005高三数学周练3一、填空题：1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝▲．2．若复数1＋ai2－i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝▲．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲．5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是▲．6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．函数()sin3cos(π0)fxxxx，的单调增区间是▲．8．设实数x，y，b满足2x－y≥0，y≥x，y≥－x＋b，若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为▲．9．设a，b均为正实数，则112abab的最小值是▲．10.在△ABC中，若AB＝1，3,||||ACABACBC，则BA→·BC→|BC→|＝▲．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝8，b＝10，△ABC的面积为203，则△ABC的最大角的正切值是___▲_____．12．已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是．▲13.已知函数()sintanfxxx｡项数为27的等差数列{}na满足,,22na且公差0d,若1227()()...()0fafafa,则当()0.kfa时，k=▲14.在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角形，(第4题图)NY结束输出sn≤10开始2则该椭圆离心率的取值范围是▲．1．{1}；2．2；3．77；4．5；5．910；6．必要不充分；7．[－π6,0]；8．94；9．4；10．1211．533或－312．(－1,1)13．14；14．（0，6－22）；二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（本小题满分14分）已知函数,)(nmxf其中向量),cos3,cos(sinxxxm),sin2,sin(cosxxxn,0若)(xf的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于.（1）求的取值范围；（2）在ABC中，cba,,分别是角CBA,,的对边，,3a当最大时，,1)(Af求ABC的面积最大值.（1）由题意知xxxnmxf2sin3sincos)(22=).62sin(22sin32cosxxx12,0,2222T解得.210（2）由（1）知,1)6sin(2)(,21maxAAf即.21)6sin(A又∵,0A∴,6766A∴,656A得.32A由余弦定理得,2123222bcbccba即.1bc∴.4323121sin21AbcSABC16.在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．EABCDP(第16题图)图3解析:（1）因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又∠ACD＝90°，则CDAC，而PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，因为CD平面ACD，所以，平面PAC⊥平面PCD．（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．因为EM平面PAB，PA平面PAB，所以EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，则MC∥AB．因为MC平面PAB，AB平面PAB，所以MC∥平面PAB．而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC平面EMC，从而EC∥平面PAB．证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC＝∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC平面PAB，PN平面PAB，所以EC∥平面PAB．17.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．(第17题图)图MEABCDPNEABCDP417．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．由题意得：36x＋h0＝10，解得h0＝10－36x．则h＝h02－x212＝(10－36x)2－x212＝100－1033x，x∈(0,103)．所以，正三棱锥体积V＝13Sh＝13×34x2×100－1033x＝3x212100－1033x．设y＝V2＝x448(100－1033x)＝100x448－10x5483，求导得y′＝100x312－50x4483，令y′＝0，得x＝83，当x∈(0，83)时，y′＞0，y随着x的增加而增大，当x∈(83，103)时，y′＜0，y随着x的增加而减小，所以，当x＝8错误!未找到引用源。cm时，y取得极大值也是最大值．此时y＝15360，所以Vmax＝32错误!未找到引用源。cm3．答：当底面边长为83cm时，正三棱锥的最大体积为3215cm3．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2D''D'OCABD5的交点为G．（1）求实数a，b的值；（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN的面积均为S，求S的取值范围；（3）求证：点G在一条定直线上．解析:（1）由题设可知a＝2．因为e＝32，即ca＝32，所以c＝3．又因为b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以b＝1．（2）由题设可知，椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线MN的方程为y＝x－1．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组x24＋y2＝1y＝x－1，消去y可得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝85．将x1＝0，x2＝85，代入直线MN的方程，解得y1＝－1，y2＝35．所以MN＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝852．设与直线MN平行的直线m方程为y＝x＋λ．联立方程组x24＋y2＝1y＝x＋λ，消去y可得5x2＋8λx＋4λ2－4＝0，若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5．当直线m为y＝x－5时，直线l与m之间的距离为d1＝|－1－(－5)|2＝5－12；当直线m为y＝x＋5时，直线l与m之间的距离为d2＝|－1－5|2＝5＋12；设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，则需满足d1＜d＜d2，即5－12＜d＜5＋12．(第18题图)xyGA1NDA2M6因为S＝12d·MN＝452d，所以45－45＜S＜45＋45．（3）方法一设直线A1M的方程为y＝k1(x＋2)，直线A2N的方程为y＝k2(x－2)．联立方程组x24＋y2＝1y＝k1(x＋2)，消去y得(1＋4k12)x2＋16k12x＋16k12－4＝0，解得点M的坐标为(2－8k121＋4k12，4k11＋4k12)．同理，可解得点N的坐标为(8k22－21＋4k22，－4k21＋4k22)．由M，D，N三点共线，有4k11＋4k122－8k121＋4k12－1＝－4k21＋4k228k22－21＋4k22－1，化简得(k2－3k1)(4k1k2＋1)＝0．由题设可知k1与k2同号，所以k2＝3k1．联立方程组y＝k1(x＋2)y＝k1(x－2)，解得交点G的坐标为(2(k1＋k2)k2－k1，4k1k2k2－k1)．将k2＝3k1代入点G的横坐标，得xG＝2(k1＋k2)k2－k1＝2(k1＋3k1)3k1－k1＝4．所以，点G恒在定直线x＝4上．方法二显然，直线MN的斜率为0时不合题意．设直线MN的方程为x＝my＋1．令m＝0，解得M(1，32)，N(1，－32)或M(1，－32)，N(1，32)．当M(1，32)，N(1，－32)时，直线A1M的方程为y＝36x＋33，直线A2N的方程为y＝32x－3．联立方程组y＝36x＋33y＝32x－3，解得交点G的坐标为(4，3)；当M(1，－32)，N(1，32)时，由对称性可知交点G的坐标为(4，－3)．若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x＝4．下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(4，y0)．由点A1，M，G三点共线，有y1－0x1＋2＝y04＋2，即y0＝6y1x1＋2．7再由点A2，N，G三点共线，有y2－0x2－2＝y04－2，即y0＝2y2x2－2．所以，6y1x1＋2＝2y2x2－2．①将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入①式，化简得2my1y2－3(y1＋y2)＝0．②联立方程组x24＋y2＝1x＝my＋1，消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，从而有y1＋y2＝－2mm2＋4，y1y2＝－3m2＋4．将其代入②式，有2m·－3m2＋4－3·－2mm2＋4＝0成立．所以，当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．19.（本小题满分16分）设函数21()ln().2afxxaxxaR（1）当1a时，求函数()fx的极值；（2）当1a时，讨论函数()fx的单调性.（3）若对任意(3,4)a及任意12,[1,2]xx，恒有212(1)ln2()()2amfxfx成立，求实数m的取值范围.（1）函数的定义域为(0,).当1a时，'11()ln,()1,xfxxxfxxx当01x时，'()0;fx)(xf单调递减；当1x时，'()0.fx)(xf单调递增()=(1)1fxf极小值，无极大值.（2）'1()(1)fxaxax2(1)1axaxx1(1)()(1)1axxax当111a，即2a时，2'(1)()0,xfxx()fx在定义域上是减函数；当1011a，即2a时，令'()0,fx得101xa或1;x令'()0,fx得11.1xa当111a，即12a时，令'()0,fx得01x或1;1xa令'()0,fx得811.1xa综上，当2a时，()fx在(0,)上是减函数；当2a时，()fx在1(0,)1a和(1,)单调递减，在1(,1)1a上单调递增；当12a时，()fx在(0,1)和1(,)1a单调递减，在1(1,)1a上单调递增；（3）由（Ⅱ）知，当(3,4)a时，()fx在[1,2]上单减，(1)f是最大值，(2)f是最小值.123()()(1)(2)ln222afxfxff2(1)ln22am3ln222a,而0a经整理得231ama，由34a得2310115aa，所以1.15m20．已知无穷数列