高中数学大题规范解答-全得分系列之(一)函数实际应用答题模板

对函数实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(一)函数实际应用题答题模板[典例](2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r，圆柱的母线为l，以及容器的体积――――――→可根据体积公式建立关系式4πr33＋πr2l＝80π3―――――――→利用表面积公式求球及圆柱的表面积S球＝4πr2，S圆柱＝2πrl2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求y关于r的函数表达式，求y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域――――――――――→求总造价y，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr2c，圆柱型部分的造价为2πrl×33．建联系，找解题突破口总造价y＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y＝4πr2c＋2πrl×3―――→应消掉l只保留r由4πr33＋πr2l＝80π3，解得l＝803r2－4r3――――→故可得建造费用y＝160πr－8πr2＋4πcr2―――――――→由l≥2r可求r的范围即定义域0r≤2―→问题得以解决1．审条件，挖解题信息观察条件―→建造费用y＝160πr－8πr2＋4πcr2，定义域为0，2]2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求该容器的建造费用最小时的r――――――――――→建造费用最小，即y最小问题转化为当r为何值时，y取得最小值3．建联系，找解题突破口分析函数特点：含分式函数―――――――→可利用导数研究函数的最值y′＝－160πr2－16πr＋8πcr＝8π[c－2r3－20]r2，0r≤2――――――→求导数为零的点当r＝320c－2时，y′＝0320(02]2c与，的系，求极值讨论区间关分320c－2≥2和0320c－22两种情况讨论，并求得结论[教你准确规范解题](1)设容器的体积为V，由题意，知V＝4πr33＋πr2l，又V＝80π3，所以4πr33＋πr2l＝80π3，解得l＝803r2－4r3，分)由于l≥2r，因此0r≤2.分)所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr803r2－4r3＝160π3r－8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2，所以建造费用y＝160πr－8πr2＋4πcr2，定义域为(0,2]．分)(2)由(1)，得y′＝－160πr2－16πr＋8πcr＝8π[c－2r3－20]r2，0r≤2.分)由于c3，所以c－20，当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m0.所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．分)①当0m2，即c92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′0；当r∈(m,2)时，y′0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．分)②当m≥2，即3c≤92时，当r∈(0,2)时，y′0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．分)综上，当3c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c92时，建造费最小时r＝320c－2.分)[常见失分探因]易忽视条件l≥2r，从而误认为r0，导致定义域错误.易忽视导数为零的点与定义域的关系，即忽视对c的取值的讨论而造成解题错误.易忽视将问题“返本还原”，即没将函数的最小值还原为建造费用最小而草率收兵.————————————————[教你一个万能模板]————————————第一步审清题意认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)―→第二步建立文字数量关系式可先用文字语言描述问题中所涉及的关键量之间的数量关系，这是解决问题的一把钥匙―→第三步转化为数学模型将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题―→第四步解决数学问题利用所学数学知识解决转化后的数学问题(常利用导数、基本不等式解决，本题是利用导数解决的函数最值)，得到相应的数学结论―→第五步返本还原把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义(如本题应还原建造费用最小时r的值)―→第六步反思回顾查看关键点，易错点，如本题函数关系式的求解是否正确；定义域是否正确；导数的求解及分类是否准确等