高中数学大题规范解答-全得分系列之(二)导数应用问题答题模板

导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力．“大题规范解答——得全分”系列之(二)导数的应用问题答题模板[典例](2012北京高考·满分13分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→曲线y＝fx与曲线y＝gx在它们的交点1，c处有公共切线―――――――――――→两曲线在x＝1处的纵坐标及导数相同f1＝g1，f′1＝g′12．审结论，明解题方向观察所求结论―→求a，b的值―――――――→需要建立关于a，b的方程组将f1＝g1，f′1＝g′1用a，b表示即可3．建联系，找解题突破口解方程组f1＝g1，f′1＝g′1―――――――→先求f′x和g′xf′x＝2ax，g′x＝3x2＋b―――――→将x＝1代入a＋1＝b＋1，2a＝3＋b，⇒a＝b＝31．审条件，挖解题信息观察条件―→a2＝4b――――――――――――――――――→可消掉一个参数，使fx与gx含有同一个参数fx＝ax2＋1a0，gx＝x3＋14a2x2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求函数fx＋gx的单调区间及其在区间－∞，－1]上的最大值――――――→fx＋gx含x3及参数a应利用导数解决3．建联系，找解题突破口问题转化为求函数hx＝fx＋gx,＝x3＋ax2＋14a2x＋1的导数――――――――→由h′x0和h′x0确定单调区间增区间为()2a－，－和()6a－，＋，单调递减区间为(,)26aa－－26(1]aa－及－与－，－的系，求最值讨论区间关①当－1≤－2a，即0a≤2时，hxmax＝h－1＝a－24a②当－2a－1－6a，即2a6时，hxmax＝h(－2a)＝1③当－1≥－6a，即6≤a时，hxmax＝h(－2a)＝1[教你准确规范解题](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，所以f1＝g1，f′1＝g′1.分)即a＋1＝b＋1，2a＝3＋b，解得a＝b＝3.分)(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，∵a2＝4b，∴h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1.则h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2，令h′(x)＝0，解得x1＝－a2，x2＝－a6.分)由a0，得h(x)与h′(x)的变化情况如下：x－∞，－a2－a2－a2，－a6－a6－a6，＋∞h′(x)＋0－0＋h(x)∴函数h(x)的单调递增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞，单调递减区间为－a2，－a6.分)①当－1≤－a2，即0a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a24；分)②当－a2－1－a6，即2a6时，函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1；分)③当－1≥－a6，即a≥6时，函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－a6上单调递减，在区间－a6，－1上单调递增，又因为h－a2－h(－1)＝1－a＋14a2＝14(a－2)20，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.分)综上所述：当a∈(0,2]时，最大值为h(－1)＝a－a24；当a∈(2，＋∞)时，最大值为h－a2＝1.分)[常见失分探因]易忽视条件“在它们的交点1，c处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于a，b的方程组，从而使题目无法求解.易将单调递增区间写成并集“(－∞，－2a)∪(－6a，＋∞)”或“(－∞，－2a)或(－6a，＋∞))”而导致错误.易忽视对a的分类讨论或分类不准确造成解题错误—————————————————[教你一个万能模板]———————————用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：第一步求函数f(x)的导数f′(x)―→第二步求函数f(x)在给定区间上的单调区间―→第三步求函数f(x)在给定区间上的极值―→第四步求函数f(x)在给定区间上的端点值―→第五步比较函数f(x)的各极值与端点值的大小，确定函数f(x)的最大值和最小值―→第六步反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．如本题的关键点是确定函数f(x)的单调区间；易错点是忽视对参数a的讨论