高中数学大题规范解答-全得分系列之(五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板

数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板[典例](2012江西高考·满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，求an；(2)求数列9－2an2n的前n项和Tn.[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→Sn＝－12n2＋kn及Sn的最大值为8nSn是于的二次函关数当n＝k时，Sn取得最大值2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求k的值及an――――→应建立关于k的方程Sn的最大值为8，即Sk＝8，k＝4nS可求的表式达Sn＝－12n2＋4n3．建联系，找解题突破口根据已知条件，可利用an与Sn的关系求通项公式―――――→注意公式的使用条件an＝Sn－Sn－1＝92－nn≥2，a1＝S1＝72―――――→验证n＝1时，an是否成立an＝92－n1．审条件，挖解题信息观察条件―→an＝92－n及数列9－2an2n922nna－可化列简数9－2an2n＝n2n－12．审结论，明解题方向观察所求结论―→求数列9－2an2n的前n项和Tn12nn－分析通的特项点可利用错位相减法求和3．建联系，找解题突破口条件具备，代入求和：Tn＝1＋22＋232＋…＋212nn－－＋12nn－①――――→等式两边同乘以22Tn＝2＋2＋32＋…＋312nn－－＋22nn－②――――→错位相减②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋212n－－22nn－＝4－212n－－22nn－＝4－222nn－＋[教你准确规范解题](1)当n＝k∈N*时，Sn＝－12n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故k2＝16，k＝4.当n＝1时，a1＝S1＝－12＋4＝72，(3分)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝92－n.(6分)当n＝1时，上式也成立，综上，an＝92－n.(2)因为9－2an2n＝n2n－1，所以Tn＝1＋22＋322＋…＋n－12n－2＋n2n－1，①(7分)所以2Tn＝2＋2＋32＋…＋n－12n－3＋n2n－2，②②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.(11分)故Tn＝4－n＋22n－1.(12分),,[常见失分探因]利用an＝Sn－Sn－1时，易忽视条件n≥2，即不验证a1＝72，是否适合an＝92－n.错位相减时，易漏项或求错项数.—————————————————[教你一个万能模板]————————————第一步将数列{cn}写成两个数列的积的形式cn＝anbn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列―→第二步写出数列{cn}的前n项和Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn―→第三步Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的两边同乘以公比q，得qSn＝qa1b1＋qa2b2＋…＋qanbn―→第四步两式错位相减得(q－1)Sn―→第五步等式两边同时除以q－1，得Sn―→第六步反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范．如本题错位相减时，是否有漏项