高三文极坐标与参数方程复习

高三文科坐标系与参数方程复习贵州省册亨县民族中数学组梅瑰考纲要求:新课标人教A版高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》考纲要求（1）坐标系①理解坐标系的作用。②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化。④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。（2）参数方程①了解参数方程，了解参数的意义。②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。③了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。课时建议:6--8课复习建议:知识梳理（一）坐标系1、极坐标系①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标0),(f可以取任意值。②平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对0),(f只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应),(，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(不是一一对应的。③极坐标系中，点M),(的极坐标统一表达式Zkk),2,(。④如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示，同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。2、极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；极轴与x轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。（2）互化公式sincosyx，0,tan222xxyyx注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法。【例1】在极坐标系中，描出点)3,2(M，并写出点M的统一极坐标。【例2】极坐标方程cos化为直角坐标方程为()A.2211()24xyB.x2+（y+21）2=41C.x2+（y21）2=41D.（x21）2+y2=41【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1)cos2sin(2）2sincos23、简单的曲线的极坐标方程：极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(f，并且坐标适合方程0),(f的点都在曲线C上，那么方程0),(f叫做曲线C的极坐标方程。(由于与都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁)4、圆的极坐标方程①圆心在（a，0）(0)a半径为a的圆的极坐标方程为：cos2a②以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为:r(是定值，是任意的)5、直线的极坐标方程过极点，极角为4的射线OM的极坐标方程：04过极点，极角为54的射线OM的极坐标方程：045直线l极坐标议程可以用454和表示极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为：454或R例4极坐标方程)1(（）=0（0）表示的图形是（）（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线例5①过极点且关于极轴的倾斜角是3的直线的极坐标方程是___________②过点(2,)3且与极轴垂直的直线方程为（）A.4cosB.cos10C.sin3D.3sin③过点(2,)3且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A.sin1B.cos1C.sin3D.cos3④过点(2,)3且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是(二)、参数方程：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。1、直线的参数方程：经过点000,yxM(00,yx)，倾斜角为α的直线的参数方程为sincos00tyytxx(t为参数)．设M是直线上的任一点，则t表示有向线段MM0的数量．所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点0M的距离.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.问题：已知一条直线过点),(000yxM，倾斜角为,求这条直线的方程.解：直线的普通方程为)(tan00xxyy把它变形成)(cossin00xxyy进一步整理cossin00xxyy令该比例的比值为t，即txxyycossin00问题：已知一条直线过点),(000yxM，倾斜角为,求这条直线的方程.0cos(sinttyyt0x=x整理，得到是参数）解：在直线上任取一点M(x,y),则),(),(),(00000yyxxyxyxMM设e是直线l的单位方向向量，则,0),sin,(cose因为,//0eMM所以存在实数,Rt使,//0etMM即)sin,(cos),(000tyyxxMM于是sin,cos00tyytxx即sin,cos00tyytxx过点),(000yxM，倾斜角为,的直线l的参数方程为为参数）ttyytxx(sincos002、圆的参数方程sincosryrx(θ为参数)．3、圆锥曲线的参数方程：（1）椭圆12222byax的参数方程为sincosbyax(θ为参数)。（2）双曲线12222byax的参数方程为tansecyax(φ为参数)。（3）抛物线pxy22的参数方程为ptyptx222(t为参数)。例6在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为为参数）；ttytx(21236在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为cos10，曲线1C与2C交于BA,两点，求.AB解：在ρ＝10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2＝10ρcosθ，则曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝10x，将曲线C1的参数方程代入上式，得(6＋32t)2＋14t2＝10(6＋32t)，整理，得t2＋3t－24＝0，设这个方程的两根为t1，t2，则t1＋t2＝－3，t1t2＝－24，所以|AB|＝|t2－t1|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝311．2013年、2014年高考题(选做题题23)贵州省进入新课改来2013年首次开始设置选做题。（一）高考试题（2013年新课标I）23．选修4－4：坐标系与参数方程yxM0M(x,y)已知曲线1C的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把1C的参数方程化为极坐标方程；(2)求1C与2C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．（2013年新课标Ⅱ卷)(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(sin2cos2yx为参数)上，对应参数分别为与2)20(，M为PQ的中点.(I)求M的轨迹的参数方程；(II)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.（2013年全国新课标卷B）23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程是2cos3sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在2C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(.(Ⅰ)点A，B，C，D的直角坐标；(Ⅱ)设P为1C上任意一点，求2222||||||||PDPCPBPA的取值范围.（2013年辽宁卷）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos22.4.（I）12CC求与交点的极坐标；（II）112.PCQCCPQ设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为33,,.12xtatRabbyt为参数求的值(2014全国课标I)(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：19422yx，直线l：ttytx(222为参数).(I)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(II)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.(2014全国课标II)(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为cos2，]2,0[.(I)求C的参数方程；(II)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：23xy垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D的坐标.（2014年辽宁卷）23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线:220lxy与C的交点为12,PP，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.