高中数学学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换

学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换导学目标：1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．自主梳理1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由x′＝ax＋by，y′＝cx＋dy，(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表abcd称为________，其中a，b，c，d称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)．2．矩阵的乘法行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则为[a11a12]b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxy＝ax＋bycx＋dy.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M＝1001；(2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝_____________________________________________；(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝100－1；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝____________；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝k100k2，表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k1，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝__________；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝__________，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝10k1.(其中k为非零常数)．4．线性变换的基本性质设向量α＝xy，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝x1y1，β＝x2y2，规定向量α与β的和α＋β＝__________.(1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝__________，②M(α＋β)＝______________________________.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．自我检测1．点A(3，－6)在矩阵1－1012对应的变换作用下得到的点的坐标是________．2．设4－203xy＝0－1，则它表示的方程组为______________．3．设矩阵A＝1－101，矩阵A所确定的变换将点P(x，y)变换成点Q，则Q点的坐标为________．4．设△OAB的三个点坐标为O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩阵M＝1k01对应的变换下作用后形成△OA′B′，则△OAB与△OA′B′的面积之比为____________________．5．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求l的方程．探究点一几种常见的变换例1试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换．(1)1001，方程为y＝2x＋2；(2)－1001，点A(2,5)；(3)2001，曲线方程为x2＋y2＝4.变式迁移1将点(2,4)先经过矩阵1002变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为________．探究点二矩阵的乘法及几何意义例2验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释：1113＝101110021101.变式迁移2已知矩阵M＝12－323212和N＝2222－2222，求证：MN＝NM.探究点三矩阵与变换的综合应用例3已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M＝错误!，航空可用矩阵表示为N＝错误!.(1)试从NM的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？(2)请计算M2，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？(3)请计算MNM，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？变式迁移3已知A＝cosα－sinαsinαcosα，B＝cosβ－sinβsinβcosβ，试求AB，并对其几何意义给予解释．1．常见的变换矩阵(1)恒等变换矩阵为M＝1001；(2)伸压变换矩阵为M＝k001或M＝100k；(3)反射变换矩阵为M1＝100－1，M2＝－1001，M3＝－100－1；(4)旋转变换矩阵为M＝cosθ－sinθsinθcosθ；(5)投影变换矩阵为M1＝1000，M2＝1010，M3＝0001；(6)切变变换矩阵为M＝1k01或M＝10k1.2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律．设A＝abcd，B＝uvst，则AB＝au＋bsav＋btcu＋dscv＋dt.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．矩阵abcd(左)乘向量pq的法则是________．2．(2010·龙岩一模)在某个旋转变换中，顺时针旋转π3所对应的变换矩阵为________．3．直线2x＋y－1＝0经矩阵M＝－100－1的变换后得到的直线方程为________．4．设a，b∈R，若矩阵A＝a10b将直线l：x＋y－1＝0变为直线x－y－2＝0，则a＝________，b＝________.5．已知A＝2－3－46，B＝8455，C＝5－231.则AB＝________，AC＝________.6．曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为________．(其中M＝1002，N＝12001.)7．(2010·南京二模)在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，△OAB在矩阵MN的作用下变换所得的图形的面积为________(其中矩阵M＝100－1，N＝122022)．8．已知二阶矩阵M满足M10＝10，M11＝22，则M21－1＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·江苏)已知矩阵A＝1121，向量β＝12.求向量α，使得A2α＝β.10．(14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝k001，N＝0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．11．(14分)(2010·福建)已知矩阵M＝1ba1，N＝c02d，且MN＝2－200.①求实数a，b，c，d的值；②求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换答案自主梳理1．二阶矩阵元素3.(2)cosθ－sinθsinθcosθ(3)－1001－100－1(4)k1k2(5)1000(6)1k014.λxλyx1＋x2y1＋y2(1)λMαMα＋Mβ自我检测1．(9，－3)2.4x－2y＝03y＝－13.(x－y，y)4．1∶1解析由题意知TM为切变变换，故变换前后图形面积大小不变．5．(1)1234(2)x＋y＋2＝0解析(1)设M＝abcd，则abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2.∴a－b＝－1c－d＝－1.①－2a＋b＝0－2c＋d＝－2.②由①②联立得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，故M＝1234.(2)设(x′，y′)为l上任意一点，在经矩阵M变换下对应的点为(x，y)，则1234x′y′＝xy∴x＝x′＋2y′y＝3x′＋4y′，代入x－y－4＝0得x′＋y′＋2＝0，即x＋y＋2＝0.课堂活动区例1解题导引对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影．解(1)所给方程表示的是一条直线．设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为A′(x′，y′)．∵1001xy＝x′y′，∴x＝x′，y＝y′.变换后的方程仍为y＝2x＋2.∴该变换是恒等变换．(2)经过变化后变为(－2,5)，它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换．(3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A(x，y)为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则2001xy＝2xy＝x1y1，∴2x＝x1，y＝y1.将之代入到x2＋y2＝4可得方程x214＋y124＝4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．变式迁移1(－8,2)解析由题意知cos90°－sin90°sin90°cos90°100224＝0－110100224＝0－21024＝－82例2解题导引①熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义．矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换．②因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a先实施变换f，再实施变换g与先实施变换g，再实施变换f，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题．弄清题意，不能混淆f(g(a))和g(f(a))．解等式右边表示的是对点(x，y)先作沿x轴的切变变换得(x＋y，y)，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(x＋y,2y)，最后将得到的点作沿y轴的切变变换得(x＋y，x＋3y)．等式左边表示的是将点(x，y)作如下变换：1113xy＝x′y′＝x＋yx＋3y，即它也是将点(x，y)变成了点(x＋y，x＋3y)，因此，等式两边表示的变换相同，所以有1113＝101110021101变式迁移2解MN＝12－3232122222－2222＝2＋642－646－246＋24，NM＝2222－222212－323212＝2＋642－646－246＋24，故MN＝NM.例3解题导引M的意义表示陆路的网络图为甲→乙；N的意义表示航空的网络图为甲→乙．解(1)NM＝