高中数学学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式

学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式导学目标：1.理解不等式的基本性质.2.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式的性质：|a＋b|≤|a|＋|b|.3.求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c(c0)．自主梳理1．不等式的基本性质(1)对称性：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔________.(2)传递性：如果ab，bc，那么________．即ab，bc⇒________.(3)可加性：如果________，那么a＋cb＋c，如果ab，cd，那么a＋cb＋d.(4)可乘性：如果ab，c0，那么________；如果ab，c0，那么________；如果ab0，cd0，那么acbd.(5)乘方：如果ab0，那么an____bn(n∈N，n1)．(6)开方：如果ab0，那么nanb(n∈N，n1)．2．形如|ax＋b|c(c0)的不等式的解法(1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|c，故tc或t－c，即ax＋bc或ax＋b－c，然后求x，得原不等式的解集；(2)分段讨论法：|ax＋b|c(c0)⇔ax＋b≥0ax＋bc或ax＋b0－ax＋bc.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如|x－a|＋|x－b|≥c的绝对值不等式的解法(1)运用绝对值的几何意义．(2)零点分区间讨论法．(3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．绝对值不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.自我检测1．若xy，ab，则在①a－xb－y，②a＋xb＋y，③axby，④x－by－a，⑤aybx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．2．(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.3．(2010·潍坊一模)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．4．若不等式|x＋1|＋|x－2|a无实数解，则a的取值范围是________．5．(2009·福建)解不等式|2x－1||x|＋1.探究点一绝对值不等式的解法例1解下列不等式：(1)1|x－2|≤3；(2)|2x＋5|7＋x；(3)|x－1|＋|2x＋1|2.变式迁移1(1)(2011·江苏，21D)解不等式x＋|2x－1|3.(2)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.①解不等式f(x)2；②求函数y＝f(x)的最小值．探究点二绝对值的几何意义在不等式中的应用例2已知不等式|x＋2|－|x＋3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围．变式迁移2设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．探究点三绝对值三角不等式定理的应用例3“|x－A|ε2，且|y－A|ε2”是“|x－y|ε”(x，y，A，ε∈R)成立的________条件．变式迁移3(1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；(2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．转化与化归思想的应用例(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值178.多角度审题第(1)问|f(x)|≤54⇔－54≤f(x)≤54，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤54；二是证明－54≤f(x)≤54亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为178，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上．【答题模板】证明(1)方法一∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|[2分]＝－|x|－122＋54≤54.∴若|a|≤1，则|f(x)|≤54.[5分]方法二设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，∴当x＝±1，即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤54；[1分]当－1x1即x2－10时，g(a)＝(x2－1)a＋x是单调递减函数．∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54；[3分]g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝x＋122－54.[4分]∴|f(x)|＝|g(a)|≤54.[5分](2)当a＝0时，f(x)＝x，当－1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1，不满足题设条件，∴a≠0.又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1.故f(1)和f(－1)均不是最大值，[7分]∴f(x)的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，∴命题等价于a0－1－12a1f－12a＝178，[8分]解得a－12a＝－2或a＝－18，[9分]∴a＝－2.即当a＝－2时，函数f(x)有最大值178.[10分]【突破思维障碍】由于|a|≤1，f(x)的表达式中有两项含有a，要想利用条件|a|≤1，必须合并含a的项，从而找到解题思路；另外，由于x的最高次数为2，而a的最高次数为1，把ax2＋x－a看作关于a的函数更简单，这两种方法中，对a的合并都是很关键的一步．【易错点剖析】在第(1)问中的方法一中，如果不合并含a的项，就无法正确应用条件|a|≤1，从而导致出错或证不出；方法二也需要先合并含a的项后，才容易把f(x)看作g(a)．解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．2．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．3．不等式3≤|5－2x|9的解集为________．4．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．5．若不等式|8x＋9|7和不等式ax2＋bx2的解集相等，则实数a、b的值分别为________和________．6．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是________．7．函数f(x)＝|x－2|－|x－4|的值域是________．8．(2010·深圳一模)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是______________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·福建)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．10．(14分)(2011·课标全国)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．11．(14分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式答案自主梳理1．(1)ba(2)acac(3)ab(4)acbcacbc(5)自我检测1．②④解析令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件xy，ab，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．又∵ay＝3－3＝－1，bx＝2－2＝－1，∴ay＝bx，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．2．{x|－2≤x≤5}解析|x＋3|＋|x－4|≤9，当x－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x－3；当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；当x4时，x＋3＋x－4≤9，即4x≤5.综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．又∵x＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)，∴x≥24t·1t－6＝－2，当t＝12时取等号．∴B＝{x|x≥－2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．3．a≥5解析由绝对值的几何意义知|x＋2|＋|x－3|∈[5，＋∞)，因此要使|x＋2|＋|x－3|≤a有解集，需a≥5.4．a≤3解析由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|a无解，知a≤3.5．解当x0时，原不等式可化为－2x＋1－x＋1，解得x0，又∵x0，∴x不存在；当0≤x12时，原不等式可化为－2x＋1x＋1，解得x0，又∵0≤x12，∴0x12；当x≥12时，原不等式可化为2x－1x＋1，解得x2，又∵x≥12，∴12≤x2.综上，原不等式的解集为{x|0x2}．课堂活动区例1解题导引(1)绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．其方法主要有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间讨论等．(2)利用平方法去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行．(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．解(1)原不等式等价于不等式组|x－2|1|x－2|≤3，即x1，或x3－1≤x≤5，解得－1≤x1或3x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x1，或3x≤5}．(2)由不等式|2x＋5|7＋x，可得2x＋57＋x或2x＋5－(7＋x)，整理得x2，或x－4.∴原不等式的解集是{x|x－4，或x2}．(3)由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－12时，2x＋1＝0(以下分类讨论)．所以①当x－12时，原不等式等价于x－12，－x＋1－2x－12，得－23x－12.②当－12≤x≤1时，原不等式等价于－12≤x≤1，－x＋1＋2x＋12，得－12≤x0.③当x1时，原不等式等价于x1，x－1＋2x＋12，得x无解．由①②③得原不等式的解集为{x|－23x0}．变式迁移1解(1)原不等式可化为2x－1≥0，x＋2x－13或2x－10，x－2x－13.解得12≤x43或－2x12.所以原不等式的解集是{x|－2x43}．(2)解①令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5，x≤－12，3x－3，－12x4，x＋5，x≥4.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象(如图)，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和(53，2)．所以|2x＋1|－|x－4|2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．②由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝－12时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－92.例2解题导引恒成立问题的解决方法(1)f(x)m恒成立，需有[f(x)]maxm；(2)f(x)m恒成立，需有[f(x)]minm；