高中数学学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用

学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标：1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果a，b0，那么____________，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)如果a，b，c0，那么________________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(3)对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a1＋a2＋…＋ann≥na1·a2·…·an，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32.自我检测1．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝s，xy＝p，则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x＝y时，s有最小值2p；②当且仅当x＝y时，p有最大值s24；③当且仅当p为定值时，s有最小值2p；④若s为定值，则当且仅当x＝y时，p有最大值s24.2．若x，y∈R，且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．4．函数y＝3＋3x＋1x(x0)的最大值为________．5．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围为______________．探究点一利用柯西不等式求最值例1已知x，y，a，b∈R＋，且ax＋by＝1，求x＋y的最小值．变式迁移1若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1)已知a、b、c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θc.求证：acos2θ＋bsin2θc.(2)设a、b、c∈R＋，求证：(1a2＋1b2＋1c2)(a＋b＋c)2≥27.变式迁移3设a、b、c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1a＋c)≥92.1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比算术—几何平均不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．2．应用算术—几何平均不等式求最值，要积极创造条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于“和定积最大，积定和最小”，注意满足“一正二定三相等”三个条件，缺一不可．3．利用不等式解决实际问题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型或函数模型，最终通过解不等式或算术—几何平均不等式实施解题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若x1，则函数y＝x＋1x＋16xx2＋1的最小值为________．2．函数y＝3xx2＋x＋1(x0)的值域是________．3．函数y＝52x2(25－2x)(0≤x≤15)的最大值为_____________________________________．4．设abc，n∈N*，且1a－b＋1b－c≥na－c恒成立，则n的最大值是________．5．若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________．6．函数y＝12－2x＋x－1的最大值为________．7．函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n0，则1m＋2n的最小值为________．8．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则p＝2x＋y的最大值是________．二、解答题(共42分)9．(12分)设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.10．(14分)设x、y均大于0，且x＋y＝1，求证：(x＋1x)2＋(y＋1y)2≥252.11．(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小．学案76不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1．(1)a＋b2≥ab(2)a＋b＋c3≥3abc(3)a1＝a2＝…＝an2．(1)(ac＋bd)2ad＝bc(2)|α||β|自我检测1．④解析∵x，y∈(0，＋∞)，∴x＋y≥2xy，又x＋y＝s，xy＝p，∴当s一定，即x＝y＝s2时，p有最大值s24；当p一定，即x＝y＝p时，s有最小值2p.2．7解析3x＋27y＋1≥23x·27y＋1＝23x＋3y＋1＝7，当且仅当“3x＝27y”即x＝3y且x＋3y＝2时，上式取“＝”，此时x＝1，y＝13.3．9解析(x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．4．3－23解析∵x0，∴y＝3＋3x＋1x＝3－[(－3x)＋(－1x)]≤3－23.当且仅当－3x＝－1x，即x＝－33时取等号．∴当x＝－33时，函数y＝3＋3x＋1x有最大值3－23.5．[－25，25]解析由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a2＋b2)≥(a－b)2，∴(a－b)2≤20，∴－25≤a－b≤25，当且仅当“b＝－a”时上式“＝”成立．由b＝－aa2＋b2＝10得，a＝5b＝－5或a＝－5b＝5.课堂活动区例1解题导引由于ax＋by＝1，则可以构造x＋y＝[(x)2＋(y)2][(ax)2＋(by)2]≥(a＋b)2的形式，从而利用柯西不等式求出最值．利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意．解∵x，y，a，b∈R＋，ax＋by＝1，∴x＋y＝[(x)2＋(y)2][(ax)2＋(by)2]≥(a＋b)2.当且仅当x·by＝y·ax，即xy＝ab时取等号．∴(x＋y)min＝(a＋b)2.变式迁移1解由柯西不等式得：(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥12.当且仅当2x×1＝3y×1，即2x＝3y时取等号．由2x＝3y2x＋3y＝1得x＝14y＝16.∴4x2＋9y2的最小值为12.例2解题导引运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．解如图，设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0x1)，则OB1＝B1B2＝x.由A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1＝A1A2＝1，所以A1B1＝OA1－OB1＝1－x.作B1C1⊥A1A2于C1.在Rt△A1B1C1中，∠B1A1C1＝60°，则容器的高B1C1＝A1B1sin60°＝32(1－x)．于是容器的容积为V＝f(x)＝Sh＝(6·34x2)·32(1－x)＝94x2(1－x)(0x1)．则f(x)＝94x2(1－x)＝98·x·x·(2－2x)≤98·[x＋x＋2－2x3]3＝13.当且仅当x＝2－2x，即x＝23时，Vmax＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.变式迁移2解(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：a2＋4·12h′a＝2h2＋14a2＝h′2，消去h′.解得：a＝1h2＋1(h0)．(2)由V＝13a2h＝h3h2＋1(h0)，得：V＝13h＋1h，而h＋1h≥2h·1h＝2.所以0V≤16，当且仅当h＝1h，即h＝1时取等号．故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．例3证明(1)由柯西不等式可得acos2θ＋bsin2θ≤[(acosθ)2＋(bsinθ)2]12(cos2θ＋sin2θ)12＝(acos2θ＋bsin2θ)12c.(2)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33abc0，从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c20，又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c20，∴(1a2＋1b2＋1c2)(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．变式迁移3证明∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a0，1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥331a＋b·1b＋c·1a＋c0，∴(a＋b＋c)(1a＋b＋1b＋c＋1a＋c)≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．课后练习区1．8解析y＝x＋1x＋16xx2＋1＝x2＋1x＋16xx2＋1≥216＝8.当且仅当x2＋1x＝16xx2＋1，即x＝2＋3时等号成立．2．[－3,0)解析y＝3xx2＋x＋1＝3x＋1x＋1.∵x＋1x＝－[(－x)＋(－1x)]≤－2.∴x＋1x＋1≤－1.∴03x＋1x＋1≥－3，即－3≤y0.∴原函数的值域为[－3,0)．3.4675解析y＝52x2(25－2x)＝52x·x(25－2x)，∵0≤x≤15，∴25－2x≥0，∴y≤52[x＋x＋25－2x3]3＝4675.当且仅当x＝x＝25－2x，即x＝215时，ymax＝4675.4．4解析∵a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4，∴a－ca－b＋a－cb－c≥4，∴1a－b＋1b－c≥4a－c.又∵1a－b＋1b－c≥na－c恒成立，∴4a－c≥na－c，又∵ac，∴a－c0，∴4≥n，即n≤4.5.425解析柯西不等式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.①不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，x2＋y2取得最小值，解方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425.6.15解析函数的定义域为[1,6]．y2＝(12－2x＋x－1)2＝(2×6－x＋1×x－1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x)2＋(x－1)2]＝3×5＝15.∴y2≤15.∴y≤15.当且仅当2×x－1＝1×6－x，即x＝83时等号成立．∴原函数的最大值为15.7．8解析函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)．则(－2)m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n0.1m＋2n＝(1m＋2n)·(2m＋n)＝4＋nm＋4mn≥4＋2nm·4mn＝8，(m＝14，n＝12时取等号)即1m