搜索
-1-§1.5.3定积分的概念教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb-==LL将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为xD（baxn-D=），在每个小区间[]1,iixx-上任取一点()1,2,,iinx=L，作和式：11()()nnniiiibaSfxfnxx==-=D=邋如果xD无限接近于0（亦即n??）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx=ò，其中-ò积分号，b－积分上限，a－积分下限，()fx－被积函数，x－积分变量，[,]ab－积分区间，()fxdx－被积式。说明：（1）定积分()bafxdxò是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n??时）记为()bafxdxò，而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],ab；②近似代替：取点[]1,iiixxx-Î；③求和：1()niibafnx=-å；④取极限：()1()limnbinaibafxdxfnx=-=åò（3）曲边图形面积：()baSfxdx=ò；变速运动路程21()ttSvtdt=ò；变力做功()baWFrdr=ò2．定积分的几何意义-2-从几何上看，如果在区间[],ab上函数()fx连续且恒有()0fx³，那么定积分()bafxdxò表示由直线,(),0xaxbaby==?和曲线()yfx=所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()bafxdxò的几何意义。说明：一般情况下，定积分()bafxdxò的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及直线,xaxb==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数()yfx=，若()yfx=在[,]ab上可取负值。考察和式()()()12()infxxfxxfxxfxxD+D++D++DLL不妨设1(),(),,()0iinfxfxfx+L于是和式即为()()()121(){[()][]}iinfxxfxxfxxfxxfxx-D+D++D--D++-DLL()bafxdx\=ò阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1()bakdxkba=-ò；性质2()()()bbaakfxdxkfxdxk=蝌为常数（定积分的线性性质）；性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx??蝌?（定积分的线性性质）；性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb=+蝌?其中（定积分对积分区间的可加性）(1)()()baabfxdxfxdx=-蝌；(2)()0aafxdx=ò；说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx北?北?蝌蝌LL-3-②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx=+++蝌蝌L③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba三．典例分析例1．利用定积分的定义，计算130xdxò的值。分析：令3()fxx=；（１）分割把区间[]0,1n等分，则第i个区间为：1,(1,2,,)iiinnn轾-犏=犏臌L，每个小区间长度为：11iixnnn-=-=V；（２）近似代替、求和取(1,2,,)iiinnx==L，则()3212332440111111111()()1144nnnniiiiixdxSfxinnnnnnnn===骣÷ç???=+=+÷ç÷ç桫邋?òV（３）取极限2130111limlim144nnnxdxSn骣÷ç==+=÷ç÷ç桫ò.例2．计算定积分21(1)xdx+ò分析：所求定积分是1,201xxyyx====+，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52。性质1性质4AMNBAMPCCPNBSSS=+曲边梯形曲边梯形曲边梯形12yxO-4-即：215(1)2xdx+=ò思考：若改为计算定积分22(1)xdx-+ò呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）例３．计算定积分120(2)xxdx-ò分析：利用定积分性质有，11122000(2)2xxdxxdxxdx-=-蝌?利用定积分的定义分别求出10xdxò，120xdxò，就能得到120(2)xxdx-ò的值。四．课堂练习计算下列定积分1．50(24)xdx-ò50(24)945xdx-=-=ò2．11xdx-ò11111111122xdx-=创+创=ò3．课本练习：计算230xdxò的值，并从几何上解释这个值表示什么？五．回顾总结1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业P503、5一、定义法例1用定义法求的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2]分成n等分，则△x＝．（2）近似代替：△（3）求和：.（4）取极限：S=[试卷由星火资源网整理发布,版权归原作者所有。]您好！您正在查阅的资料来自星火资源网高考站资料地址: