高中数学【配套Word版文档】三.3.3导数的应用(二)

§3.3导数的应用(二)2014高考会这样考1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等综合问题；2.利用导数研究方程根的个数，证明不等式或不等式恒成立问题；3.利用导数解决有关的实际问题．复习备考要这样做1.理解数形结合思想、转化思想在导数中的应用；2.会建立函数模型解决不等式问题，实际问题等．1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．[难点正本疑点清源]1．实际问题的最值(1)注意函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．2．判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性．1.如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是____________cm2/s.答案25000π解析设时间t时，水波圆的半径、面积分别为r、s，则r＝50t，S＝πr2＝π·(50t)2＝2500πt2，则S′＝5000πt，而r＝250时，t＝5，故S′(5)＝25000π(cm2/s)．2．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．答案[－1,1]解析∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cosx≤1，①当a0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0a≤1；②当a＝0时适合；③当a0时，a≤acosx≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a0.综上，－1≤a≤1.3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．答案(－2,2)解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)0，即(a＋2)(a－2)0，故a∈(－2,2)．4．若f(x)＝lnxx，0abe，则f(a)、f(b)的大小关系为________．答案f(a)f(b)解析f′(x)＝1－lnxx2，∵0abe，∴1－lnxx20，即f′(x)0，∴f(x)为增函数，∴f(a)f(b)．5．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.答案144解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x(0x5)＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．题型一运用导数证明不等式问题例1设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.思维启迪：证明不等式时要构造函数，利用函数的单调性来解题．(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调减区间是(－∞，ln2]，单调增区间是[ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R上单调递增．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.探究提高利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．当0xπ2时，求证：tanxx＋x33.证明设f(x)＝tanx－x＋x33，则f′(x)＝1cos2x－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx＋x)．因为0xπ2，所以xtanx，所以f′(x)0，即x∈0，π2时，f(x)为增函数．所以x∈0，π2时，f(x)f(0)．而f(0)＝0，所以f(x)0，即tanx－x＋x330.故tanxx＋x33.题型二利用导数研究恒成立问题例2(2011·浙江)设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．思维启迪：(1)直接解f′(x)0或f′(x)0得单调区间；(2)求f(x)的最值．解(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x0，所以f′(x)＝a2x－2x＋a＝－x－a2x＋ax.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．只要f1＝a－1≥e－1，fe＝a2－e2＋ae≤e2，解得a＝e.探究提高(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域．(2)参数问题涉及的恒成立问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是__________．答案[4，＋∞)解析当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x－1x3，设g(x)＝3x－1x3，x∈(0,1]，g′(x)＝3x3－3x－13x2x6＝－6x－12x4，g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：x0，121212，1g′(x)＋0－g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．题型三生活中的优化问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．思维启迪：(1)考虑求解C(x)＝k3x＋5中的参数k的值，注意C(0)＝8.(2)由导数求最值，注意考虑定义域．解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年的能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)．再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)．又建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．探究提高在求实际问题中的最大值或最小值时，一般设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝5150x－ax2－lnx10，x2x－12∈[t，＋∞)，其中t为大于12的常数．当x＝10时，y＝9.2.(1)求y＝f(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．解(1)∵当x＝10时，y＝9.2，即5150×10－a×102－ln1＝9.2，解得a＝1100.∴f(x)＝5150x－x2100－lnx10.∵x2x－12≥t且t12，∴6x≤12t2t－1，即投入x的取值范围是6，12t2t－1.(2)对f(x)求导，得f′(x)＝5150－x50－1x＝－x2－51x＋5050x＝－x－1x－5050x.令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．当x∈(6,50)时，f′(x)0，且f(x)在(6,50]上连续，因此，f(x)在(6,50]上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，f′(x)0，且f(x)在[50，＋∞)上连续，因此，f(x)在[50，＋∞)上是减函数．∴x＝50为极大值点．当12t2t－1≥50，即t∈12，544时，投入50万元改造时取得最大增加值；当612t2t－150，即t∈2544，＋∞时，投入12t2t－1万元改造时取得最大增加值．导数与不等式的综合问题典例：(14分)(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.考点分析本题考查曲线的切线、导数的几何意义，考查函数在闭区间上的最值．求解策略本题的关键点：P(1,0)点处切线斜率为2，可以列方程解出a，b；证明不等式时可以构造函数，利用函数的单调性来证明不等式．规范解答(1)解f′(x)＝1＋2ax＋bx.[2分]由已知条件得f1＝0，f′1＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.[5分]解得a＝－1，b＝3.[7分](2)证明因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，[8分]由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx．[9分]设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，[10分]则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－12x＋3x.[12分]当0x1时，g′(x)0，当x1时，g′(x)0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．[13分]而g(1)＝0，故当x0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.[14分]解后反思利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用．将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目．二审结论会转换典例：(14分)已知函数f(x)＝12x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小