高中数学复习平面向量的数量积人教版必修4

1．向量的数量积a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉．2．向量的投影向量b在a方向上的投影等于___.平面向量的数量积a·b|a|3．向量数量积的坐标表示x1x2＋y1y2设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.4．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件a与b的夹角是锐角⇔且a与b不共线；a与b的夹角是钝角⇔且a与b不共线．D1．已知向量a＝1sin,2的模为22，则cos2θ等于()A.14B．－14C．－12D.12a·b0a·b0DA2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝2C．a∥bD．a－b与b垂直3．若|a|＝2sinπ12，|b|＝2cosπ12，a与b的夹角为π6，则a·b的值为()A.32B.3C．23D.12＝；若a⊥b，则tanα＝___.4．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα－435．已知向量a、b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝______，|a－3b|＝______.2196334考点1向量的数量积运算例1：已知OP→＝(2,1)，OA→＝(1,7)，OB→(5,1)，点O为坐标原点，点C是直线OP上一点，求CA→·CB→的最小值及取得最小值时cos∠ACB的值．解题思路：引入变量，将CA→·CB→表示成所引入变量的函数．解析：由于点C是直线OP上一点，设点C(2m，m)，∴CA→＝(1－2m,7－m)，CB→＝(5－2m,1－m)，CA→·CB→＝5(m－2)2－8，∴m＝2时，CA→·CB→的最小值为－8；而m＝2时，CA→＝(－3,5)，CB→＝(1，－1)，cos∠ACB＝CA→·CB→|CA→||CB→|＝－41717.→→→→→→→→【互动探究】图8－2－11．如图8－2－1，在边长为1的正六边形ABCDEF中，下)列向量的数量积中最大的是(A.AB·ACC.AB·AEB.AB·ADD.AB·AFA考点2向量的数量积的应用例2：已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|＝1.求证：△P1P2P3是正三角形.解题思路：由|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|＝1知O是△P1P2P3的外接圆的圆心，本题只需证∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P3OP1即可，由OP1→＋OP2→＋OP3→＝0变形可出现数量积，可求夹角．证明：∵OP1→＋OP2→＋OP3→＝0，∴OP1→＋OP2→＝－OP3→.∴|OP1→＋OP2→|＝|－OP3→|.∴|OP1→|2＋|OP2→|2＋2OP1→·OP2→＝|OP3→|2.又∵|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|＝1，∴OP1→·OP2→＝－12.∴|OP1→||OP2→|cos∠P1OP2＝－12，即∠P1OP2＝120°.同理∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，∴△P1P2P3为等边三角形．【互动探究】2．已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m＝(sinB，1－cosB)与向量n＝(2,0)的夹角的余弦值为12.求角B的大小．解：∵m＝(sinB,1－cosB)，n＝(2,0)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝12，即2sinB22－2cosB＝12.∴2cos2B－cosB－1＝0.解得cosB＝－12或cosB＝1(舍去)．∵0Bπ，∴B＝2π3.错源：忽略其他条件例3：已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，有两个点A(－1,1)，B(3,3)，求使向量PA→与PB→夹角为钝角的充分必要条件.误解分析：错误使用PA→与PB→夹角为钝角的充分必要条件，用PA→·PB→0解出0a2.正解：点P在直线y＝2x上，所以点P坐标为(a,2a)，PA→＝(－1－a,1－2a)，PB→＝(3－a,3－2a)，向量PA→与PB→夹角为钝角的充要条件是PA→·PB→0，并且P、A、B三点不共线.PA→·PB→＝(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a，由5a2－10a0，得0a2，由PA→和PB→不共线，得(－1－a)(3－2a)≠(1－2a)(3－a)，解出a≠1.即PA→与PB→夹角为钝角的充要条件是0a1或1a2.【互动探究】图8－2－23．如图8－2－2，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，设∠CAD＝α，∠CAB＝β，cosα＝35，AB→·AC→＝120.(1)求cos(α＋β)；(2)设AC→＝xAB→＋yAD→，求x、y的值．解：(1)由AB→·AC→＝120得，|AB→|·|AC→|cosβ＝120，即13×10·cosβ＝120，∴cosβ＝1213，sinβ＝513，sinα＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝35·1213－45·513＝1665.(2)AD→·AB→＝5×13×cos(α＋β)＝5×13×1665＝16.∵AC→＝xAB→＋yAD→，∴AB→·AC→＝xAB→·AB→＋yAD→·AB→＝120，即169x＋16y＝120.同理AD→·AC→＝xAD→·AB→＋yAD→·AD→＝5×10×cosα＝5×10×35＝30，即16x＋25y＝30.解得x＝4063，y＝5063.例4：已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0αβπ.(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的长度相等，求β－α的值(k为非零的常数)．解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0与三角函数的综合运用．解析：(1)∵(a＋b)·(a－b)＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．(2)ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)；a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，|ka＋b|＝k2＋1＋2kcosβ－α，|a－kb|＝k2＋1－2kcosβ－α，而|ka＋b|＝|a－kb|，则cos(β－α)＝0，∴β－α＝π2.【互动探究】4．已知AD是△ABC的中线，AD→＝λAB→＋μAC→(λ、μ∈R)．(1)求λ＋μ的值；(2)若∠A＝120°，AB→·AC→＝－2，求|AD→|的最小值．解：(1)∵B、D、C三点共线，∴λ＋μ＝1.(2)∵AD→＝12(AB→＋AC→)，∴|AD→|2＝14|AB→＋AC→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(|AB→|2＋|AC→|2－4)．∵AB→·AC→＝－2，∴|AB→|·|AC→|＝4，∴14(|AB→|2＋|AC→|2－4)≥14(2|AB→|·|AC→|－4)＝14(2×4－4)＝1.∴|AD→|的最小值是1.用向量处理角的问题时要注意两点：①是要注意角的取值范围；②是要知道角是直角、锐角、钝角的充要条件．