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能力突破突破一近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较1．轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同r近＝r物。第6课时(小专题)天体运动中的“四大难点”[知识梳理]能力突破2．运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2πr3GM可知，近地卫星的周期要小于同步卫星的周期，即T近T同＝T物。3．向心加速度：由GMmr2＝ma知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a＝rω2＝r2πT2知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a近a同a物。能力突破4．动力学规律(1)近地卫星和同步卫星满足GMmr2＝mv2r＝mω2r＝ma。(2)赤道上的物体不满足万有引力充当向心力即GMmr2≠mv2r。能力突破【典例1】(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是()A.a1a2＝rRB.a1a2＝(rR)2C.v1v2＝rRD.v1v2＝Rr能力突破比较a1和a2同步卫星与赤道上物体的角速度相同据a＝ω2r分析比较v1和v2同步卫星与贴近地面的卫星皆由万有引力提供向心力据v＝GMr分析能力突破答案AD解析设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω21r，a2＝ω22R，又ω1＝ω2，故a1a2＝rR，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得GMm1r2＝m1v21r，GMm2R2＝m2v22R，解得v1v2＝Rr，选项D正确。能力突破【变式训练】1．(2014·江西鹰潭市高三第二次模拟考试)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图1所示，则下列关于卫星的说法中正确的是()图1能力突破解析在地球赤道表面随地球自转的卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以A．a的向心加速度等于重力加速度gB．c在4h内转过的圆心角为π6C．b在相同的时间内转过的弧长最长D．d的运动周期可能是23h能力突破答案Cc的周期为24h，因此4h内转过的圆心角为θ＝π3，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d运行的周期比c要长，所以其周期应大于24h，选项D错误。能力突破突破二卫星的变轨问题1．卫星变轨的原因(1)由于对接引起的变轨(2)由于空气阻力引起的变轨2．卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，GMmr2mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速率比原轨道时减小。能力突破(2)当卫星的速率突然减小时，GMmr2mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速率比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。能力突破【典例2】(多选)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g，地球半径为R，图2中PQ长约为8R，卫星在变轨过程中质量不变，则()图2能力突破A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为(hR＋h)2gB．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝gR2R＋hC．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率D．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能能力突破第一步：抓住信息→构建运动模型能力突破第二步：找突破口→理清思路能力突破解析设地球质量为M，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有GMmR2＝mg，在轨道Ⅲ上有GMm（R＋h）2＝ma，所以a＝(RR＋h)2g，A错；又因a＝v2R＋h，所以v＝gR2R＋h，B对；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即满足GMmr2＜mv2r，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率，C对；能力突破答案BC尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P、Q点各加速一次，但在圆形运行轨道上v＝GMr，所以由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D错。能力突破解题模板能力突破【变式训练】2．(多选)如图3是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15km，远地点为P、高度为100km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是()能力突破图3能力突破A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B．“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率能力突破解析“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误。答案BC能力突破突破三天体运动中的能量问题1．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足GMmr2＝mv2r，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，能力突破但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。【典例3】(2014·山东卷，20)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图4，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。图4能力突破设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月，以月面为零势能面。“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝GMmhR（R＋h），其中G为引力常量，M为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()A.mg月RR＋h(h＋2R)B.mg月RR＋h(h＋2R)C.mg月RR＋h(h＋22R)D.mg月RR＋h(h＋12R)能力突破解析设玉兔在高度h时的速度为v，则由万有引力定律得，GMm（R＋h）2＝mv2（R＋h）可知，玉兔在该轨道上的动能为Ek＝12GMm（R＋h），由功能关系可知对玉兔做的功为W＝Ep＋Ek＝GMmhR（R＋h）＋12GMm（R＋h），结合在月球表面：GMmR2＝mg月，整理可知W＝mg月RR＋h(h＋12R)，故正确选项为D。答案D能力突破【变式训练】3．(多选)(2013·新课标全国卷Ⅱ，20)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A．卫星的动能逐渐减小B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小能力突破答案BD解析卫星半径减小时，分析各力做功情况可判断卫星能量的变化。卫星运转过程中，地球的引力提供向心力，GMmr2＝mv2r，受稀薄气体阻力的作用时，轨道半径逐渐变小，地球的引力对卫星做正功，势能逐渐减小，动能逐渐变大，由于气体阻力做负功，卫星的机械能减小，选项B、D正确。能力突破突破四卫星的追及相遇问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。能力突破【典例4】(多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，19)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930能力突破A.各地外行星每年都会出现冲日现象B．在2015年内一定会出现木星冲日C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析设地球的运转周期为T0、角速度为ω0、轨道半径为r0，则其他行星的轨道半径为r＝kr0①根据万有引力定律及牛顿第二定律得：GMmr20＝mω20r0②GMmr2＝mω2r③能力突破答案BD联立①②③得：ω＝1k3ω0。各行星要再次冲日需满足：ω0t－ωt＝2π，即t＝kkkk－1T0，其中k＝1.5、5.2、9.5、19、30。根据上式结合k值并由数学知识可知：行星冲日的时间间隔一定大于1年，并且k值越大时间间隔越短，所以选项B、D正确，A、C错误。能力突破【变式训练】4.如图5所示，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，已知甲卫星的周期为N小时，每过9N小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为()图5A.392B.332C.233D.239能力突破答案A解析由2πT1－2πT29N＝2π，T1＝N，解得：T2T1＝98。根据开普勒定律，r2r1＝(98)23，线速度v＝2πrT，则v1v2＝r1r2·T2T1＝(89)23×98＝392，A项正确。