高中数学必修1第一章(10)

无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)56954784(中学)课题：2.4.3反函数（三）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题奎屯王新敞新疆2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点奎屯王新敞新疆教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.奎屯王新敞新疆授课类型：练习课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明奎屯王新敞新疆互为反函数的两个函数有什么关系：函数)(xfy与)(1xfy的图象关于直线xy对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到2．函数)(xfy、)(1xfy、)(yfx、)(1yfx间的关系：)(xfy与)(1xfy、)(yfx与)(1yfx互为反函数；)(xfy与)(1yfx、)(yfx与)(1xfy为同一函数奎屯王新敞新疆二、讲解例题：例1求函数y=xx11(x≥0，x≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为y-yx=1+x，即x=(y-1)/(y+1)--①,∵x≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y-1或y≥1,⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)]2,无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)56954784(中学)⑶∴原函数的反函数是)(1xf=[(x-1)/(x+1)]2（x-1或x≥1）；说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：x≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.例2设函数y=)(xf=)0()0(2xxxx，求它的反函数.分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.解：⑴当x0时，y=x,其反函数仍是y=x(x0);⑵当x≥0时，y=2x，由y=2x(x≥0)得x=y,又y=2x(x≥0)的值域为y≥0，∴y=2x(x≥0)的反函数是y=x(x≥0).⑶由⑴⑵可得)(1xf=)0()0(xxxx.例3已知函数cxbaxy的反函数是213xxy(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.解：⑴由213xxy(x≠2)解出x=312yy，∵原函数的值域是y≠3,∴213xxy(x≠2)的反函数是312xxy(x≠3,x∈R).⑵由互为反函数的函数关系知，312xxy与cxbaxy是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.例4若点A(1,2)既在函数)(xf=bax的图象上，又在)(xf的反函数的图象上，求a,b的值.分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？①A(1,2)在)(xf图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在)(xf的反函数的图象上呢？无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)56954784(中学)其一，真求反函数，再把A(1,2)代入.能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则'A(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=)(xf，则(b,a)应满足y=)(1xf，反之亦然.解：由A(1,2)在)(xf=bax上，则有2ba--①；由A(1,2)在其反函数图象上，可知'A(2,1)也在函数)(xf=bax图象上，∴又有12ba--②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若)0(2)1(xxxxf，试求反函数)(1xfy．分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．解：令tx1，则1tx，2)1(tx，代入所给表达式，得)(tf2)1(t+22)1(t=12t，0x，∴tx11，即原来函数是)1(1)(2xxxf．易求函数)1(1)(2xxxf的反函数是1)(1xxfy)0(x．注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．三、练习：1．求函数y=)0(1)0(12xxxx的反函数.解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x=1y(y≥1)；当x0时，y1，由y=x+1得x=y-1(y1).将x,y对换得y=)(1xf=)1(1)1(1xxxx.说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.2．已知函数)(xf=1+32x有反函数，且点(a,b)在函数)(xf的图象上，无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考(小学)56954784(中学)又在其反函数的图象上，求a,b的值.解：∵点(a,b)在函数)(xf的图象上，∴b=1+32a---①,又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数)(xf的图象上，∴有a=1+32b---②，联立①②解得a=b=2.四、小结本节课学习了以下内容：分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题奎屯王新敞新疆五、课后作业：1．课本P64习题2.4：3，4.答案：3.⑴y=)(1xf=x/2，它的定义域为[0,+∞);⑵),0[(2xxy奎屯王新敞新疆及其反函数)0(21xxy奎屯王新敞新疆的图象如右图所示.4.∵y=x/5+b的反函数为y=5x-5b，由已知y=ax+3是y=x/5+b的反函数，∴函数y=x/5+b与函数y=ax+3为同一个函数，由此得a=5且-5b=3.∴a=5,b=-3/5.2．求函数)(xf=x|x|+2x的反函数.(提示：讨论x≥0和x0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)答案：)(1xf=)0(11)0(11xxxx奎屯王新敞新疆六、板书设计（略）奎屯王新敞新疆七、课后记：)0(21xxy),0[(2xxy第3（2）题