高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系预习(教师版)

高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系预习（教师版）一、空间点、直线、平面的位置关系1、平面（1）画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。（2）平面的表示方法：通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。ADBC(3)平面的点：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。点A在平面α内，记作：A∈α点B在平面α外，记作：Bα（4）平面的基本性质：无限延展性（5）公理（用尺子在桌面上移动引入）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．点A在直线a上，记作A∈a；点A在直线a外，记作Aa；点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作Aα；直线a在平面α内，记作aα；直线a在平面α外，记作aα．公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．DCBAα·Aα·Baa例1：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．课堂练习1：判断下列命题的真假①如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．（X）②过一条直线的平面有无数多个．（V）③与一个平面没有公共点的直线不存在．（X）④如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．（V）（扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．（如图14-6）类似地可以得出下面两个推论：推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）（将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？）公理3如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）公理3的数学符号语言：P∈α，P∈β＝a，P∈a．课堂练习2：判断下列命题的真假．①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．（V）②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．（X）例2：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证法1：因为AB∩AC＝A，所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BCα．（公理1）因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．证法2：因为A直线BC，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．故ABα，同理ACα，所以AB，AC，BC共面．证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）2、空间中直线与直线的的关系（1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交）（2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？（1）、空间的两条直线有如下三种关系：相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点例1：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?123456（2）平行公理：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。a∥bc∥b=a∥c共面直线：直线：llmmmllmmllmmlmlmlmllmmlmllmmα（3）等角定理：等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。结论：①a＇与b＇所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，〕；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。3、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（1）直线与平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点直线与平面相交——有且只有一个公共点直线在平面平行——没有公共点（2）平面与平面之间的位置关系两个平面平行——没有公共点两个平面相交——有且只有一条公共直线教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行例题：1、用符号表示下列语句。（1）直线l经过平面外一点M。（2）平面与平面相交于直线a，直线b在内，且与a交于C。22、已知下列四个命题：（1）三点确定一个平面；（2）若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在同一个平面内；（3）两两相交的三条直线在同一平面内；（4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是（A）。（A）0（B）1（C）2（D）33、如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′与CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？巩固练习：1、判断下列说法是否正确？（1）平行四边形是一个平面。（X）（2）一个平面长是4cm，宽是2cm。(X)(3)一个平面把空间分成两部分。（V）（4）地球表面是一个平面。（X）（5）一条直线把它所在的平面分成两部分。（V）（6）四边形是平面图形。（X）2、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）,;(2),,;ABlmAAl(3),,,PlPQlQＤ＇Ｃ＇Ｂ＇A＇DCBA3、如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=32,AD=32,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)450(2)600二、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定（投影问题）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαBβ=a∥αa∥b2、平面与平面平行的判定(1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？(2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：3、直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：GFHEBCDA4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：例题：1.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③2.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.证明设A1C1中点为F，连接NF，FC，∵N为A1B1中点，∴NF∥B1C1，且NF=21B1C1，又由棱柱性质知B1C1BC，又M是BC的中点，∴NFMC，∴四边形NFCM为平行四边形.∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1.巩固练习：1.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：①若a∥b,b,则a∥;②若a∥b,a∥,则b∥;③若a∥,b∥,则a∥b.其中真命题的个数是.答案02.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.证明方法一分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又∵B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，则BBGBABEB1111，∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴BBGBBCEC1111，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.三、直线与平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。2、平面与平面垂直的判定（1）二面角的度量：以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。（2）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直3、直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行。4、平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。例题：1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（B）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在2.如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EBlD1证明：∵AB⊥面B1C，BC1为AC1在平面B1C上的射影，且B1E⊥BC1，∴由三垂线定理知B1E⊥AC1．又∵AA1⊥面A1C1，AB＝BC，A1C1⊥B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影∴由三垂线定理得AC1⊥B1D1．又∵B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面EB1D1．巩固练习：1.在空间，下列哪些命题是正确的（B）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确2.如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．求证：PQ⊥SC．17．证明：∵SA⊥面ABC，BC面ABC，∴SA⊥BC．又∵AB⊥BC且SA∩AB＝A，∴BC⊥面SAB，AQ面SAB．∴BC⊥AQ，又AQ⊥SB，BC∩SB＝B．∵AQ⊥面SBC．∴PQ是斜线AP在平面SBC上的射影，又∵AQ⊥SC，∴由三垂线定理的逆定理可得PQ⊥SC．课后练习判断下列说法是否正确？（7）四边相等的四边形是平面图形。（X）。（8）三角形是平面图形。（V）（9）圆是平面图形。（V）（10）平面是绝对的平滑、无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。（V）（11）空间三点确定一个平面。（X）（12）平面与平面若有公共点，就不止一个。（V）（13）若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形。（X）9、