高中数学必修3第三章知识点+经典习题

1第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象一、必然现象与随机现象1.必然现象：必然发生某种结果的现象注：必然现象具有确定性，它在一定条件下，肯定发生2.随机现象：相同条件下，多次观察同一现象，每一次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现注：⑴相同条件下，观察同一现象⑵多次观察⑶每次观察的结果不一定相同，且无法预料下一次的观察结果3.1.2事件与基本事件空间一、不可能事件、必然事件、随机事件的概念1.在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生，可能不发生称为随机事件2.随机事件的记法：用大写字母A、B、C……二、基本事件、基本事件空间1.试验中不能再分的简单的随机事件，其他事件可用它们来描绘，这样的事件称为基本事件2.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，用表示3.1.3频率与概率一、概率的定义及其理解1.定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作PA2.区别：(1)频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数(2)频率有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，概率可看成频率在理论上的期望，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小二、随机事件A的概率PA的范围1.设随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有0mn，01mn01PA2当A是必然事件时，1PA当A是不可能事件时，0PA3.1.4概率的相关性质一、互斥事件的基本概念1.互斥事件：事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件2.对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作A二、事件A与B的并（或和）及互斥事件的概率加法公式1.由事件A和B至少有一个发生所构成的集合C，称为事件A与B的并（或和），记作：CAB2.互斥事件的概率加法公式若事件A、B互斥，那么事件AB发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即)()()(BPAPBAP推广，)()()()(2121nnAPAPAPAAAP3.注意：如果两个事件不互斥，就不能运用上面的公式4.对立事件：1PAPA3.2古典概型一、古典概型1.定义：(1)在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等2.求法：（古典概率模型）若一次试验中的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能事件的概率都是1n，如果随机事件A中包含了其中的m个等可能的基本事件，那么随机事件A发生的概率为mPAn二、概率的一般加法公式（选学）1.事件A与B的交（或积）事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交（或积），记作DAB（或DAB）2.概率的一般加法公式当A、B不是互斥事件时的基本事件总数中基本事件个数中基本事件个数中基本事件个数的基本事件总数中包含的基本事件数BABABABAP)(即)()()()(BAPBPAPBAP3三、练习题1.下列现象中，随机现象有哪些？⑴某体操元动员参加下周举行的运动会⑵同时掷两颗骰子，出现6点⑶某人购买福利彩票中奖⑷三角形中任意两边的和大于第三边2.判断下列现象是必然现象还是随机现象⑴掷一枚质地均匀的硬币的结果⑵行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色⑶在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽取出3个检验的结果⑷在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽取出3个，至少有一个正品的结果⑸三角形的内角和是1803.下面给出五个事件：⑴某地2月3日下雪⑵函数xya（0a且1a）在其定义域上是增函数⑶实数的绝对值不小于0⑷在标准大气压下，水在1C时结冰⑸,abR，则abba其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________4.以1，2，3，5中任取2个数字作为直线0AxBy的系数,AB⑴写出这个实验的基本事件空间⑵求这个实验基本事件总数⑶写出“这条直线的斜率大于1”这一事件所包括的基本事件5．袋中有红，白，黄，黑大小相同颜色不同的四个小球，按下列要求分别进行实验⑴从中任取一个球；⑵从中任取两个球；⑶先后不放回地各取一个球分别写出上面试验的基本事件空间，并指出基本事件总数46.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别成为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地n个小块地，在总共n2小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙，假设2n，求第一大块地都种植品种甲的概率7.一个容量为100的样本，某数据的分组与各组的频数如下：组别0,1010,2020,3030,4040,5050,6060,70频数1213241516137则样本数据落在]40,10(上的频率为()A.0.13B.0.39C.0.52D.0.648.某种产品质量以其质量指标衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质点，现用两种新配方（分别成为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果A配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数412423210分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率9.为了解学生身高情况，某校以10％的比例对全校100名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：⑴估计该校男生人数⑵估计该校学生身高在cm185~170之间的概率⑶以样本中身高在cm190~180之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在cm190~185之间的概率510．在一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：2)5.15,5.11[；4)5.19,5.15[；9)5.23,5.19[；18)5.27,5.23[；11)5.31,5.27[；12)5.35,5.31[；7)5.39,5.35[；3)5.43,5.39[根据样本的频率分布估计，数据落在)5.43,5.31[的概率约是()A.61B.31C.21D.3211.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不定”，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件⑴A与C⑵B与E⑶B与D⑷B与C⑸C与E12.玻璃盒子里装有各色球12只，其中5红，4黑，2白，1绿，从中取1球，设事件A为“取出1只红球”，事件B为“取出1只黑球”，事件C为“取出1只白球”，事件D为“取出1只绿球”，已知121)(,61)(,31)(,125)(DPCPBPAP,求：⑴“取出一球为红球或黑球”的概率⑵“取出1球为红球或黑球或白球”的概率13．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者321,,AAA通晓日语，321,,BBB通晓俄语，21,CC通晓韩语，从中选取通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组⑴求1A被选中的概率⑵求1B和1C不全被选中的概率身高频数151051361271男生24131452身高频数15105女生614.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程02cbxx实根的个数（重根按一个计算），求方程02cbxx有实根的概率15.依次投掷两枚骰子，并记录骰子的点数⑴这个试验的基本事件空间包括多少个基本事件？⑵事件“点数相同”包含哪几个基本事件？⑶事件“点数之和为奇数”包含哪几个基本事件16.袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：⑴事件A：取出的2个球都是白球.⑵事件B：取出的2个球1个是白球，另一个是红球17.从标有1，2，3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，求两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率18.某初级中学共有学生2000名，各年级男女生人数如下表：初一年纪初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19⑴求x的值⑵现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？⑶已知245y，245z求初三年级中女生比男生多的概率19.从长度分别为2，3，4，5的四条线中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________720.某饮料公司对一名员工进行测试以便更确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力⑴求此人被评为优秀的概率⑵求此人被评为良好及以上的概率21.编号分别为1621,,,AAA的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下运动员编号1A2A3A4A5A6A7A8A得分1535212825361834运动员编号9A10A11A12A13A14A15A16A得分1726253322123138⑴将得分在对应区间内的人数填入相应的空格内区间10,2020,3030,40人数⑵从得分在区间)30,20[内运动员中随机抽取2人①用运动员编号列出所有可能的抽取结果②求这二人得分之和大于50的概率22.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.183B.184C.185D.18623.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345fa0.20.45bc⑴若所取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求cba,,的值⑵在⑴的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为321,,xxx，等级系数为5的2件日用品记为21,yy，现以321,,xxx，21,yy，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求出这两件日用品的等级系数恰好相等的概率83.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型一、几何概型的概率公式：APA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）特点：(1)结果（基本事件）有无限多个(2)每个结果出现的可能性相等1.将一根5m长的铁管据成两根，求两根铁管的长度都不小于1.5m的概率2.在一家俱乐部的门口设有一种游戏：向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，那么掷硬币者就可以赢得一张门票，请问随机掷一枚硬币，则赢得一张门票的概率有多大3．正方体1111ABCDABCD的棱长为4，球O的半径为1，球O在正方体内运动，求球心的概率94.在直角坐标系中，1,2A，4,0B，动直线l与x轴垂直且交于点P，与AB交于点R，求四边形OPRA的面积不大于2的概率5．甲、乙两人相约上午10点到11点在某地会面，先到者等候另一个人15分钟，过时就离去，那么这两个人见面的机会多大6.如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率7.在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面