高中数学必修5教案23等差数列的前n项和(第1课时)

1必修52.3等差数列的前n项和（教案）（第一课时）【教学目标】1．通过实例，探索等差数列的前n项和公式，了解倒序相加法；2．掌握等差数列的前n项和公式，并能用其解决一些简单问题；3．培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力．【重点】探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题．【难点】等差数列前n项和公式推导思路的获得．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第42页～第44页）１．高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律？（等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和）我们这里用什么方法去求一般数列的前n项和呢？（倒序相加法）２．设等差数列na的公差为d，则],)1([...)2()(1111dnadadaaSn①又nS．dnadadaannnn)1()2()(②（①式倒序相加的和）由①+②，得2nS1111nnnnaaaaaaaan个（）+（）+（）+...+（）=)(1naan．由此得到等差数列}{na的前n项和的公式nS2)(1naan．（１）这种数列求和的方法称为“倒序相加法”.又等差数列的通项公式为na=dna)1(1，将其代人公式（１）得到等差数列}{na的前n项和的另一个公式nSdnnna2)1(1．（２）３．等差数列的前n项和公式（１）、（２）各有什么特点？今后运用时如何恰当的选择？（两个公式都需要知道na和1，而公式（１）还需已知na，而公式（２）还需已知d，运用时要根据已知条件选择用哪个公式．）【基础练习】1．在等差数列}{na中，已知818481naa，，，其前n项和nS-88．２.在等差数列}{na中，已知32705141nada，．，．，其前n项和nS604.5．2３．求集合6012|mnnmm，且，的元素个数，并求这些元素的和.(答案:元素个数是30，元素和为900.【典型例题】例12000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【审题要津】让学生读题、审题并找出有用的信息，构造等差数列模型：根据题意，从2010~2001年，该市每年投入的经费都比上一年增加50万元.所以，构成了一个等差数列{}na，写出首项和公差，用等差数列的前n项和公式求解．解：根据题意，从2010~2001年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{}na，表示从2001年起各年投入的资金，其中1500a，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为10101105005072502nS（）（万元）答：从2010~2001年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.【方法总结】本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：＂从2010~2001年，每年投入的经费都比上一年增加50万元＂.所以，可以构造一个等差数列，利用等差数列的知识解决．例2已知一个等差数列{}na前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？【审题要津】等差数列前n项和公式就是一个关于dnaanan，，或，，11的方程．若要确定其前n项求和公式，则要确定da和1的关系式，从而求得．将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于1a与d的二元一次方程，由此可以求得1a与d，从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知10310S，201220S，将它们代入公式112nnnSnad（），得到．，122019020310451011dada解这个关于1a与d的方程组，得到1a=4，6d，3所以214632nnnSnnn（）.另解：110103102naaS得11062aa；①120202012202aaS所以120122aa；②②-①，得1060d，所以6d,代入①得：14a,所以有21132nnnSandnn（）.【方法总结】此例题目的是建立等差数列前n项和与方程之间的联系,关键是根据已知条件恰当的选择公式.由已知的几个量，通过解方程组，得出其余的未知量.在等差数列前n项和的两个公式以及通项公式中涉及了五个量,分别是nnSanda，，，，1，任知其三个可以求另外两个．【课堂检测】1．在等差数列}{na中，nSaaan，则，，100141531（Ｂ）（Ａ）9（B）10（C）11（Ｄ）12２．已知等差数列}{na满足105342104Saaaa，则，(C)（Ａ）138（Ｂ）135（Ｃ）95（Ｄ）23３.正整数列前n个偶数的和为)1(nn；正整数列前n个奇数的和为2n．４.在三位正整数的集合中有180个数是５的倍数，它们的和是98550.５．已知等差数列na中，512,11naa，1022nS，求公差d解：由等差数列na的前n项和公式得10222)5121(2)(1naanSnn，解得4n，即5124a．又da)14(14＝512，所以d171．46.已知一个n项的等差数列的前四项和为21，末四项的和为67，前n项的和为286，求项数n．解：由题设得．，67213214321nnnnaaaaaaaa两式相加得883423121nnnnaaaaaaaa.又3423121nnnnaaaaaaaa，所以88)(41naa，即221naa．286112)(1naanSnn，所以26n．【提升练习】（2009宁夏海南卷文）等差数列na的前n项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m（Ｃ）．（A）38（B）20（C）10（D）9w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：因为na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得：2ma－2ma＝0，所以，ma＝2，又2138mS，即2))(12(121maam＝38，又mmaaa2121，所以（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选C．