高中数学必修一抽象函数问题的“原型”解法(苏教版)

学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如()(0)fxkxk有121212()()()()fxxkxxfxfx可抽象为()()()fxyfxfy。那么y=kx就叫做抽象函数()fx满足()()()fxyfxfy的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。[来源:学,科,网]一、中学阶段常用抽象函数()fx的“原型”（函数）1、()()()fxyfxfy——ykx(k为常数）2、()()()fxyfxfy——y=xa（a＞0且a≠1）3、()()()fxyfxfy——logayx(a＞0且a≠1)4、()()()fxyfxfy——nyx(n为常数）5、()()2()()22xyxyfxfyff或()()2()()fxyfxyfxfy－－y=cosx(为常数）6、()()()1()()fxfyfxyfxfy－－y=tanx二、“原型”解法例析[来源:Z+xx+k.Com]【例1】设函数()fx满足()()2()()22xyxyfxfyff，且f(2)=0，x、y∈R；求证：()fx为周期函数，并指出它的一个周期。[来源:学_科_网]分析与简证：由()()2()()22xyxyfxfyff[来源:学&科&网]想：12coscosxx=2cos221xxcos221xx原型：y=cosx，为周期函数且2π为它的一个周期。猜测：()fx为周期函数，2π为它的一个周期令1x=x+，2x=则()()2()()22fxfxfxf=0∴()()(2)()fxfxfxfx∴()fx为周期函数且2π是它的一个周期。【例2】已知函数()fx满足1()(1)1()fxfxfx，若(0)2004f，试求f(2005)。分析与略解：由1()(1)1()fxfxfx学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com想：tan(x+4)=1tan1tanxx原型：y=tanx为周期函数且周期为4×4=π。[来源:学科网ZXXK]猜测：()fx为周期函数且周期为4×1=4∵1(1)(2)[(1)1]1(1)fxfxfxfx=)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf=-)(1xf∴1(4)[(2)2]()(2)fxfxfxfxf(x+4)=()fx∴()fx是以4为周期的周期函数又∵f(2)=2004∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)ffff=1(0)1(0)ff=1200412004=-20052003∴f(2005)=-20052003【例3】已知函数()fx对于任意实数x、y都有()()()fxyfxfy，且当x＞0时，()fx＞0，f(-1)=-2，求函数()fx在区间[-2，1]上的值域。分析与略解：由：()()()fxyfxfy想：k(x+y)=kx+ky原型：y＝kx（k为常数）为奇函数。k＜0时为减函数，k＞0时为增函数。猜测：()fx为奇函数且()fx为R上的单调增函数，且()fx在[－2,1]上有()fx∈[－4,2]设1x2x且1x，2x∈R则2x－1x0∴f(2x－1x)0∴212111()()()()fxfxfxxxfx=2111()()()fxxfxfx=21()fxx＞0[来源:Z&xx&k.Com]∴21()()fxfx,∴()fx为R上的单调增函数。令x=y=0,则f(0)=0,令y=－x，则f(－x)=－()fx[来源:学科网ZXXK]∴()fx为R上的奇函数。∴f(-1)=-f(1)=-2∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4∴-4≤()fx≤2(x∈[-2,1])故()fx在[-2,1]上的值域为[-4，2]【例4】已知函数()fx对于一切实数x、y满足f(0)≠0，()()()fxyfxfy，且当x0时，()fx＞1（1）当x＞0时，求()fx的取值范围（2）判断()fx在R上的单调性分析与略解：由：()()()fxyfxfy想：xyxyaaa原型：y=xa（a＞0,a≠1），0a=1≠0。当a＞1时为单调增函数，且x＞0时，y＞1，x＜0时，0＜y＜1；0＜a＜1时为单调减函数，且x＜0时，y＞1，x＞0时，0＜y＜1。猜测：()fx为减函数，且当x＞0时，0＜()fx＜1。学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com（1）对于一切x、y∈R，()()()fxyfxfy且f(0)≠0令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x)＞1又f(0)=f(x-x)=()fx()fx=1∴()fx=)(1xf＞1∴0＜()fx＜1[来源:学#科#网Z#X#X#K]（2）设1x2x，1x、2x∈R，则1x－2x0，f(1x－2x)＞1且)()()()()()()()(212221222121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf＞1∴12()()fxfx，∴f(x)在R上为单调减函数【例5】已知函数()fx定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，【例6】()()()fxyfxfy（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若()fx+f(x-3)≤1，求x的范围；（4）试证f(nx)=n()fx（n∈N）分析与略解：由：()()()fxyfxfy想：logloglogaaaxyxy（x、y∈R+）原型：logayx（a＞0，a≠0）猜测：()fx有f(1)=0，f(16)=2，……（1）令x=1，y=4，则f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)∴f(1)=0（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2(3)()fx+f(x－3)=f［x(x－3)］≤1=f(4)[来源:学科网]()fx在（0，+∞）上单调递增[来源:学科网]∴(3)414303430xxxxxxx∴x∈（3，4]（4）∵()()()fxyfxfy∴()()()nnfxfxxxxnfx个【例7】已知函数()fx对于一切正实数x、y都有()()()fxyfxfy且x＞1时，()fx＜1，f(2)=91(1)求证：()fx＞0；（2）求证：11()[()]fxfx（3）求证：()fx在（0，+∞）上为单调减函数（4）若()fm=9，试求m的值。分析与简证：由()()()fxyfxfy，想：1212()nnnxxxx原型：nyx（n为常数（y=2x）猜测：()fx＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……(1)对任意x＞0，()fx=()fxx)=2[()]fx≥0假设存在y＞0，使()fy=0，则对任意x＞0学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com学而思教育·学习改变命运！南京高考网nj.gaokao.com()fx=f(()xfyy=()()xffyy=0，这与已知矛盾故对任意x＞0，均有()fx＞0（2）∵()(1)()(1)fxfxfxf，()fx＞0,∴f(1)=1∴()fxf(x1)=f(x1·x)=f(1)=1∴11()[()]fxfx(3)1x、2x∈(0,+∞)，且1x＜2x，则12xx＞1，∴f(12xx)＜1，[来源:学科网]∴22211111()()()()()xxfxfxffxfxxx即21()()fxfx∴()fx在（0，+∞）上为单调减函数。（4）∵f(2)=91，f(m)=9∴f(2)f(m)=1∴f(2m)=1=f(1)，而()fx在(0，+∞)是单调减函数∴2m=1即m=21综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。[来源:学*科*网]