高中数学必修四第三章综合检测

第三章三角恒等变形一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于()A．0B.12C.32D．1【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.【答案】D2．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为()X|k|B|1.c|O|mA．x≤yB．x＞yC．x＜yD．x≥y【解析】y－x＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，∵C为锐角，∴－cosC＜0，∴y－x＜0，即x＞y.【答案】B3．若sinα＋cosα＝tanα(0απ2)，则α的取值范围是()A．(0，π6)B．(π6，π4)C．(π4，π3)D．(π3，π2)【解析】因为sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)，当0απ2时，此式的取值范围是(1，2]，而tanα在(0，π4)上小于1，故可排除A，B；在(π3，π2)上sinα＋cosα与tanα不可能相等，所以D不正确，故选C.【答案】C4．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是()A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解析】sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，∴sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB.∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．【答案】A5．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1【解析】a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.【答案】C6．当0xπ2时，函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x的最小值为()A．2B．23C．4D．43【解析】f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x＝2cos2x＋8sin2x2sinxcosx＝cotx＋4tanx≥24＝4.当且仅当cotx＝4tanx，即tanx＝12时取得等号．故选C.【答案】C7．(2013·江西高考)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23【解析】cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝1－23＝13.【答案】C8．(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1【解析】4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝sin80°＋sin60°＋20°－sin60°－20°cos40°＝sin80°＋2cos60°sin20°cos40°＝sin80°＋sin20°cos40°＝sin50°＋30°＋sin50°－30°cos40°＝2sin50°cos30°cos40°＝3·cos40°cos40°＝3.【答案】C9．已知f(x)＝sin2(x＋π4)，若a＝f(lg5)，b＝f(lg15)，则()A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【解析】由题意知f(x)＝sin2(x＋π4)＝1－cos2x＋π22＝1＋sin2x2，令g(x)＝12sin2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg5)＝g(lg5)＋12，b＝f(lg15)＝g(lg15)＋12，则a＋b＝g(lg5)＋g(lg15)＋1＝g(lg5)＋g(－lg5)＋1＝1，故a＋b＝1.【答案】C10．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(π4，π2)上是递增的B．f(x)的图像关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，∴f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．【答案】B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．(2012·江西高考)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝________.【解析】由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.【答案】34X|k|B|1.c|O|m12．知α，β∈(0，π4)，tanα21－tan2α2＝14，且3sinβ＝sin(2α＋β)，则α＋β＝________.【解析】由tanα21－tan2α2＝14，得tanα＝12.由3sinβ＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，化简得tan(α＋β)＝2tanα＝1.由于α，β∈(0，π4)，故α＋β∈(0，π2)，所以α＋β＝π4.【答案】π413．若θ是第二象限角，cosθ2－sinθ2＝1－sinθ，则角θ2所在的象限是________．【解析】∵1－sinθ＝sinθ2－cosθ22＝|sinθ2－cosθ2|＝cosθ2－sinθ2，∴sinθ2cosθ2.∵θ是第二象限角，∴π2＋2kπθπ＋2kπ，k∈Z.则π4＋kπθ2π2＋kπ.k∈Z.由上可得54π＋2kπθ232π＋2kπ，k∈Z.所以θ2是第三象限角．【答案】第三象限角14．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．【解析】f(x)＝1－cos22x－π42＝1－cos4x－π22＝1－sin4x2，∴最小正周期T＝2π4＝π2.【答案】π215．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．【解析】∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cosπ4－cos2(α＋π6)sinπ4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250.【答案】17250三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【解】(1)由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.17．(本小题满分12分)若2sin(π4＋α)＝sinθ＋cosθ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin2α＋12cos2β＝0.【证明】由2sin(π4＋α)＝sinθ＋cosθ得2cosα＋2sinα＝sinθ＋cosθ，两边平方得2(1＋sin2α)＝1＋sin2θ，即sin2α＝12(sin2θ－1)，①由2sin2β＝sin2θ得，1－cos2β＝sin2θ.②将②代入①得sin2α＝12[(1－cos2β)－1]得sin2α＝－12cos2β，即sin2α＋12cos2β＝0.．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．【解】(1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2＜2x＋π4≤5π4，即π8＜x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ωx2，x∈R(其中ω0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．【解】(1)f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ωx2＝2sinωxcosπ6－cosωx－1＝2sin(ωx－π6)－1，∵x∈R，∴f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题意得函数f(x)的周期为π.∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x－π6)－1.令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z.得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z.∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3]，k∈Z.图120．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0βαπ)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tanα的值；(2)若OP→·OQ→＝0，求sin(α＋β)．【解】(1)由三角函数定义得cosα＝－35，sinα＝45，则原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαsinα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP→·OQ→＝0，∴α－β＝π2.∴β＝α－π2.∴sinβ＝sin(α－π2)＝－cosα＝35，cosβ＝cos(α－π2)＝sinα＝45.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45×45＋(－35)×35＝725.21．(本小题满分13分)(2012·湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．xKb1.Com(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．【解】(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以函数f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图像过点(π4，0)，得f(π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．新课标第一网系列资料