高中数学思想方法和对应的练习附上填空题选择题方法

1高中数学解题思想方法高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2；……等等。1.在正项等比数列53735351,252,}{aaaaaaaaan则中.2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是（）.A.41k1B.k41或k1C.k∈RD.k＝41或k＝13.已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为（）.A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝)352(log221xx的单调递增区间是（）.A.（－∞,45]B.[45,+∞)C.(－21,45]D.[45,3)5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两实数根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。6.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）.A.32B.14C.5D.6例2.设方程x2＋kx＋2=0的两根为p、q，若7)()(22pqqp成立，求k的取值范围。例3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求20022002)()(babbaa。2二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,2]。1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x2＋1)＝)4(log4xa（a1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝________________。4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是________________。5.方程33131xx的解是_______________。6.不等式log2(2x－1)·log2(2x1－2)〈2的解集是____________________。例2.实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5，设S＝x2＋y2，求minmax11SS的值。例3．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，2cos,cos2cos1cos1CABCA求的值。例4.设a0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。例5.设对所有实数x，不等式04)1(log12log2)1(4log222222aaaaxaax恒成立，求a的取值范围。例6.已知yxyxyxyx求且,)(310sincos,cossin222222的值。例7.实数x、y满足116)1(9)1(22yx，若x＋y－k0恒成立，求k的范围。3例8.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a2＋b2＋c2的最小值。例9.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos2β。三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。1.设mxxf2)(，f(x)的反函数f1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。A.25,－2B.25，2C.25,2D.25，－22.二次不等式ax2＋bx＋20的解集是)31,21(，则a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。A.－297B.－252C.297D.2074.函数y＝a－bcos3x(b0)的最大值为23，最小值为21，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。6.与双曲线1422yx有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是________________。例2.已知函数13422xnxmxy的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。例3.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。例4.是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝12)1(nn(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。例5.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？4四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。1.已知集合A中有两个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤72.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。A.MPOMATB.OMMPATC.ATOMMPD.OMATMP3.复数z1＝a＋2ｉ，z2＝－2＋ｉ，如果|z1||z2|，则实数a的取值范围是_____。A.－1a1B.a1C.a0D.a－1或a14.椭圆192522yx上有一点P，它到左准线的距离为52，那么P点到右焦点的距离为_____。A.8C.7.5C.754D.35.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(2T)的值为_____。A.TB.0C.T2D.不能确定6.正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。例2.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z2＋3z－4，求w的三角形式；②如果zazbzz221＝1－ｉ，求实数a、b的值。例3.已知f(x)＝－xn＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求)(log22xfy的定义域，判定在(223,1)上的单调性。例4.如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。A’ADC’COHB’B证明：AB’∥平面DBC’；假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）例5.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为12的椭圆的下顶点的轨迹方程。五、反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维